27] NOUVELLES REMARQUES SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 
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en représentant de cette manière le déterminant formé avec ces neuf quantités. 
Formons d’abord la fonction 
sw'-arar. 
Cela se réduit à 
¿[-2 (fc) x 2 y - 2 (cg) xy 2 + (ca) y 2 z - 2 (fa) yz 2 - 2 (bg) xz 2 + (bc) x 2 z + *(fg) xyz + (ha) z 3 ], 
où (/c) = (/V'-/V), &c. 
Multipliant par formant ensuite les quantités analogues et ajoutant; écrivant aussi 
c(fg)+c'(f'g') + c"(f'g") = (cfg), 
c’est-à-dire (cfg) pour le déterminant formé avec les neuf quantités 
c, f 9, c', /, g', c", f", g", 
on obtient d’abord les termes 
— 4 (cfg) x 2 y 2 z 2 , + 2 (fcg) a?y 2 z 2 , -f 2 (gfc) x 2 y 2 z 2 , 
qui se détruisent ; les autres termes contiennent ¿ 3 comme facteur, et en écartant cette 
quantité, l’on obtient en dernière analyse l’équation 
(cbf)x 3 + (acg) y 3 + (bah) z 3 -f 4 (fgh) xyz 
+ t 2 ( a 9f) + (cah)] y 2 z + [2 (bhg) + (abf)] z 2 x +[2 (cfh) + (bcg)]x 2 y 
+ [2 (afh ) + (abg)] yz 2 + [2 (bgf) + (bch)] zx 2 + [2 (chg) + (caf )] xy 2 = 0 
(où l’on peut, si l’on veut, écrire z = 1). C’est l’équation d’une courbe du troisième 
ordre. 
Observation. Cette méthode peut être utile dans l’investigation d’autres problèmes 
relatifs aux coniques. Par exemple, la question de déterminer les centres d’homologie 
de deux coniques données revient à celle-ci : satisfaire identiquement à l’équation 
& r + + ©£ 2 +2jT?r + 2©££ +2p^ 
k (&’? + 23 V +ŒV+2 fi' v Ç+ + m&) = 0, 
parce que, en effectuant cela, il est facile de voir que -, - sont les coordonnées du 
Z z 
centre cherché. Ecrivons 
a + ko! = a, c + kb' = b, &c., 
l’on obtient les six équations 
b^ 2 + c y 2 — 2fyz = 0, 
ex 2 + as 2 — 2 gzx = 0, 
a y 2 + hx 2 — 2h xy = 0, 
ayz — gxy — h xz -f îx 2 — 0, 
bzx — h yz — îyx + gy 2 = 0, 
c xy — fzx — gzy + h z 2 = 0, 
C. 
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