194 NOUVELLES REMARQUES SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. [27
dont les trois dernières se déduisent des autres. On peut, de ces six équations, éliminer
les six quantités x 2 , y 2 , z 2 , yz, zx, xy, considérées comme indépendantes ; on obtient ainsi,
toute réduction faite,
(abc — af 2 — bg 2 — ch 2 4- 2fgh) 2 = 0,
équation qui détermine la quantité Je ; les trois premières équations deviennent alors
équivalentes à deux, qui suffisent pour déterminer les rapports ^, -. Il serait facile
de rapprocher cette solution de celle que l’on déduit de la théorie des polaires réci
proques. Par exemple, l’équation qui vient d’être obtenue entre les quantités a, b, ...
est précisément celle qui exprime que la fonction
aÆ 2 + hÿ 2 + cz' 2 + 2 îyz 4- 2 gxz 4- 2h xy
se divise en facteurs linéaires. Remarquons encore que, dans la géométrie solide, l’équation
UT-TF 2 = 0
appartient au cône, ayant le point P pour sommet, et circonscrit à une surface du
second ordre qui a pour équation T = 0. C’est un cas particulier d’une autre formule que
voici :
“ En représentant par ^ une fonction linéaire des trois variables £, 77, £ (ou de
quatre variables sans termes constants), et par P la même fonction de x, y, z, l’équation
^ 2 t7-2$PF + P 2 T = 0
appartient au cône ayant pour sommet le point dont les coordonnées sont x, y, z, et
passant par la courbe d’intersection du plan P = 0, et de la surface du second ordre
T = 0. Et de même pour deux variables.”
Je finirai en citant un théorème de géométrie dû à M. Hesse 1 , qui a quelques
rapports avec le sujet que je viens de traiter :
“ Le lieu d’un point P, qui se meut de manière que ses polaires par rapport à
trois coniques données se rencontrent dans le même point, est une courbe du troisième
ordre ; et encore cette courbe 11e change pas quand on remplace les coniques données
U= 0, U' = 0, U" = 0,
par trois nouvelles coniques de la forme
\U+\'Tr + \"ü" = 0.”
Cette courbe du troisième ordre est tout à fait distincte de celle que j’ai considérée.
1 Voyez le Journal de M. Crelle, tome xxvm.
