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SUR QUELQUES INTÉGRALES MULTIPLES. 
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me fondant sur une intégrale plus générale, j’ai trouvé que la question était à peine 
plus difficile que dans le cas d’une densité constante, et se laissait traiter exactement 
de la même manière. J’ai réussi de cette façon à exprimer l’intégrale cherchée au 
moyen d’une seule intégrale définie abélienne, et de ses coefficients différentiels relatifs 
aux constantes qui y entrent ; et il m’a paru que les formules que j’ai ainsi obtenues 
pourraient n’être pas tout à fait indignes de l’attention des géomètres. 
Considérons l’intégrale multiple à n variables V, donnée par l’équation 
V = I dx 1 ... ... (f termes) Xf +1 2a /+i ... (n—f termes) </> (eq — x x t, ...), 
où les variables x x , ... doivent recevoir des valeurs réelles quelconques, positives ou 
négatives, qui satisfassent à la condition 
et l’on suppose de plus qu’il est permis de développer (sous le signe intégral) la 
fonction (j) suivant les puissances ascendantes des variables x 1 ,.... 
En faisant ce développement, il est clair que les termes qui contiennent des 
puissances impaires d’une ou de plusieurs des variables se détruisent par l’intégration ; 
donc, en ne faisant attention qu’aux termes qui contiennent seulement des puissances 
paires, on a ce terme général, 
r 
p = r x + ... ; 
ou 
il est à peine nécessaire de remarquer que, dans l’expression 
[2i*j + l] 2r,+1 ... [2r/ +1 ] 2r /+i..., 
il faut prendre f termes tels que [2'r x + l] 2r * +1 , et n—f termes de l’autre forme 
[2r /+1 ]- r f+i, et ainsi dans tous les cas semblables. 
L’intégrale qui entre dans cette formule a été trouvée, comme on sait, par 
M. Dirichlet. Sa valeur est 
I>i+r 1 + f)...r (g/ +1 + r f+1 + -|) .. 
T (p + Jc +f+^n + 1) 
- V a ‘ +2r ' +3 • • • h f+1 ‘ 2a m+* r f+i +1 , 
ou 
Je — + . • • •