29] ADDITION A LA NOTE SUR QUELQUES INTEGRALES MULTIPLES, 
entre les mêmes limites que V. On a 
205 
oî>=« ( T°-p № 
W = 7r "" hl • • • hn bp=° \ V p r(p + ljTjp + U + 1) 
En multipliant par 
r(F+//" +, (i -TV*fdT, 
et intégrant depuis T=0 jusqua T= 1, on obtient 
2 
cf) (<q, ... 
r (fc+f) 
T n+ 1 (1 - T-f+f WdT 
t‘ 2 P 
~ ^ hl ■ ■ ■ hn &p=« ( 2 2 *T (p + 1) T(p + k+f+^n + 1) ^ • • • ) 
puisque en général 
? f T2p+n+i /i rp2\k+f r Tv r(j9 + ^-w+l) 
T(k+/)] t } dl ~T(£+k+f±in+iy 
On a donc l’équation 
2 H 
r(*+/)J 0 
r*' +1 (1 - T 2 )* + / TEdT = 7T^à ] ... h n U. 
Mettons la valeur de £/ qui en résulte, dans l’équation entre V et U ; faisons aussi 
t = 1, ce qui ne nuit pas à la généralité. On a, en rassemblant les formules, 
V = J dx x ... dx n ... Æ 1 2ai+ i,.. ay +1 2a /+1... <p (a, — x u ...), 
W = I dx Y ... dx n ... </> (cq— x x T,...), 
(-y (A A\ 
2*+/-i r (A; + f) \dcii ' ' ' dcif) 
(v /q 2 ...h/ J 1 T n+1 (1 - T 2 ) A +/TEdr ; 
ce qui établit ce théorème : La suite des intégrales V s’exprime au moyen des coefficients 
différentiels par rapport à /q ... h n et a x ... a f de la seule intégrale 
T n+1 (1 — T 2 ) k+f I dx x ... dx n ... </>(cq — x x T,...). 
En supposant que les indices dans V soient tous pairs, on a / = 0. Les symboles 
, ... n’entrent plus dans l’expression de V. En changeant la fonction 4>, on a ces 
formules plus simples,