20.9
30] ET LES SURFACES DÉVELOPPABLES.
de rebroussement, a de ses tangentes doubles, 6 de ses points d’inflexion, l’on aura les
six équations
y = /x . /x - 1 - (2£ + Srj),
b = 3/x . /x — 2 — (6£ + 877),
a = ÎA A -A t — 2 g- — 9 — (2| + 377) (/x./x — 1 — 6)+2|.| : — I+I77.77 —1 + 6^77 ;
/x == v. v — 1 — (2a + 36),
77 = 3v. v — 2 — (6a + 86),
£ = £i/.z/—2i> 2 — 9 — (2a + 36) (v. v — 1 — 6) + 2a. a — 1 + f 6.6 — 1 + 6a6,
dont les trois dernières se dérivent des trois premières, et vice versa.
Considérons ensuite un plan donné quelconque en conjonction avec le système. Ce
plan coupe la surface suivant une courbe plane. Les points de cette courbe sont les
points de rencontre du plan avec les lignes du système, les tangentes de cette courbe
sont les lignes de rencontre du plan avec les plans du système. Il est clair que la
courbe est de l’ordre r et de la classe n. Chaque fois que le plan contient un point
en deux lignes, la courbe a un point double ; aux points où le plan rencontre la
courbe à double courbure, il y a dans la courbe un rebroussement (car, dans ce cas,
il y a deux lignes du système qui coupent le plan en un même point, c’est-à-dire
qu’il y a dans la courbe d’intersection un point stationnaire ou de rebroussement).
Quand le plan contient une ligne en deux plans, il y a dans la courbe une tangente
double ; et enfin, pour chaque plan stationnaire du système, il y a dans la courbe une
tangente stationnaire ou une inflexion. Donc nous avons, dans la courbe, r l’ordre,
n la classe, x le nombre de points doubles, m de points de rebroussement, g de
tangentes doubles, a de points d’inflexion, ce qui donne les six équations (équivalentes
à trois) :
n — r . r — 1 — (2x + 3m),
a = 3r .r—2 — (fox + 8m),
g = ^ r. v — 2 r 2 — 9 — (2x -f- 3m) (r .r — 1 — 6) + 2x.x — 1 + fm.m — 1 + 6xm ;
r = n.n— ï — (2g + 3a),
m = Sn . n — 2 — (Qg + 8a),
x = ^ n. n — 2 n 2 — 9 — (2g + 3a) (n.n — 1— 6) + 2g . g — 1+fa.a — 1+ 6ga
(où l’on peut remarquer la symétrie à l’égard des combinaisons n, a, g, et r, m, x).
De même, en considérant un point donné quelconque en conjonction avec le système,
ce point détermine, avec la courbe à double courbure, une surface conique, et, par
des raisonnements pareils, on fait voir que, dans cette surface conique, l’ordre est m,
c, 27
