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31. 
DEMONSTRATION D’UN THÉORÈME DE M. CHASLES. 
[From the Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (Liouville), tome x. (1845), 
pp. 383—384.] 
“ Soient P, P' des points correspondants de deux figures homographiques ; si la 
droite PP' passe toujours par un point fixe 0, les points P sont situés sur une courbe 
du troisième degré, qui passe par ce même point.” 
Soient — , — , — les coordonnées de P ; 
www w 
y_ 
w' 
w 
> celles de P'. En supposant 
que x', y', z', w' sont des fonctions linéaires (sans terme constant) de x, y, z, w, les 
deux figures seront homographiques. 
Soient, de même, ^, f, % les coordonnées de 0 ; 
bob 
les coordonnées d’un 
point quelconque T. 
Puisque P, P', 0 sont sur la même droite, on peut faire passer un plan par les 
quatre points P, P', 0, T. Cela donne tout de suite l’équation 
% 
P, 
V, 
ST 
a, 
£, 
7> 
8 
r 
II 
O 
X , 
V’ 
z, 
w 
y, 
y'> 
z', 
w' 
(en représentant de cette manière le déterminant formé avec les quantités X, p, v, &c.), 
équation qui doit être satisfaite quels que soient X, p, v, w, et qui équivaut ainsi aux 
deux conditions 
'A, 
e, 
7 
' a 
e, 
8 ' 
y> 
z 
= 0. 
- 
X , 
y> 
w [ 
K oc', 
y', 
z\ 
x', 
y'> 
w' y 
Ces deux dernières équations sont du second degré par rapport aux quantités -, - , - . 
www 
Le point P est donc situé à l’intersection de deux surfaces du second ordre. Mais ces 
surfaces ont en commun la droite représentée par les équations 
ay — §x = 0, ax' — §y' = 0. 
Donc elles se coupent de plus suivant une courbe du troisième degré qui passe 
évidemment par le point O, parce qu’on satisfait aux équations en écrivant 
x : oc — y : § = z : y = w : 8.