300 ON THE THEORY 
OE ELLIPTIC FUNCTIONS. [45 
In conclusion may be given the 
notation 
following results, in which, recapitulating the 
« = \Jlc sn u, 
a = k + Jc’ 
Ax = \/(l — ax 2 + x 4 ), 
\Jk sn 2n — 
2x Ax 
1 -«*’ 
\Jk sn 3 u = 
\Jk sn 4 u = 
x (3 — 4a« 2 + 6« 4 — x 8 ) 
1 — 6« 1 + 4a« 6 — 3« 8 ’ 
4« A« (1 — x 4 ) (1 — 2a« 2 + G« 4 — 2a« 6 + «®) 
1 — 20« 4 + 32a« 6 — (26 + 16a 2 ) « 8 + 32a« 10 — 20« 12 + x 16 ’ 
\/k sn 5u = « {5 — 20a« 2 + (62 + 16a 2 ) « 4 — 80a« 6 — 105« 8 + 360a« 10 — (300 + 240a 2 ) « 12 
+ (368a + 64a 3 ) « 14 — (125 + 160a 2 ) « 16 + 140a« 18 — 50« 20 + « 24 î 
&c. 
{1 - 5Ox 4 + 140a« 6 - (125 + 160a 2 ) x 8 + (368a + 64a 3 ) « 10 - (300 + 240a 2 ) « 12 
+ 360a« 14 — 105« 16 — 80a« 18 + (62 + 16a 2 )« 20 — 20a« 22 + 5« 34 } 
Thus, writing — x 2 for x 2 , k= 1, and therefore a =2, 
tan 3 W _ x (3 + 8« 2 + 6«" - « 8 ) _ « (3 - « 2 ) (1 + « 2 ) 3 = « (3 - « 2 ) 
1 - 6« 1 - 8« 6 - 3« 8 (1 - 3« 2 ) (1 + « 2 ) 3 1 - 3« 2 
where «= tan u. (And in general in reducing tan nu the extraneous factor in the 
numerator and denominator is (1 +« 2 )5 n ( n-1 >.)