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SUR LA SURFACE DES ONDES. 
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sommet, par ces droites combinées deux à deux, il passe quinze plans, y compris trois 
plans du tétraèdre ; en excluant ceux-ci, il y a pour chaque sommet douze plans, 
chacun desquels passe par quatre points singuliers ; donc la courbe d’intersection d’un 
de ces plans avec la surface a quatre points doubles, ce qui ne peut pas arriver pour 
une courbe du quatrième ordre, à moins qu’elle ne se réduise à deux coniques. 
Donc : “Il y a, outre les plans du tétraèdre, quarante-huit plans, douze par 
chaque sommet, lesquels rencontrent la surface suivant des paires de coniques.” 
On pourrait de même chercher combien il y a de plans qui rencontrent la surface 
suivant des courbes avec trois points doubles, &c. Passons aux cônes circonscrits ; on 
démontre facilement par l’analyse cette propriété : 
“ Les cônes circonscrits à la surface ayant pour sommets les sommets du tétraèdre, 
se réduisent à des paires de cônes du second ordre, lesquelles la touchent suivant les 
deux coniques de la face opposée.” 
De plus : “ Les seize plans qui touchent quatre à quatre ces paires de cônes sont 
des plans tangents singuliers, dont chacun touche la surface suivant une conique.” 
Il y a de plus, entre ces plans, des relations analogues à celles qui existent entre 
les points singuliers, de manière que l’on déduit de même le théorème : 
“Il y a quarante-huit points, douze à douze dans les quatre plans du tétraèdre, 
pour chacun desquels les cônes circonscrits se réduisent à des paires de cônes du second 
ordre.” 
Ajoutons que ces quarante-huit points correspondent d’une manière particulière aux 
quarante-huit plans, et que les cônes circonscrits touchent la surface suivant les coniques 
situées dans les plans correspondants. 
La réciproque d’une surface du quatrième ordre est, en général, de l’ordre trente- 
six ; mais ici, à cause des seize points singuliers, cêt ordre se réduit de trente-deux, 
savoir, à quatre. Et les propriétés qui viennent d’être énoncées par rapport aux cônes 
circonscrits montrent que la réciproque étant de cet ordre est nécessairement une 
surface de la même espèce ; c’est-à-dire : 
“ La réciproque d’un tétraédroïde est aussi un tétraédroïde.” 
Donc le tétraédroïde est surface de la quatrième classe. Puisque cette surface n’a 
pas de lignes doubles ou de lignes de rebroussement, il n’y a pas de réduction dans 
le nombre qui exprime le rang de la surface, lequel est ainsi égal à douze, c’est-à-dire 
le cône circonscrit est ordinairement de l’ordre douze. Mais nous venons de voir que 
ce cône est seulement de la quatrième classe (en effet, la classe du cône est la même 
chose que celle de la surface) ; donc il y a réduction de cent vingt-huit dans la classe 
du cône. Les seize points singuliers de la surface donnent lieu à autant de lignes 
doubles dans le cône, ce qui effectue une réduction de trente-deux ; il y a encore une 
réduction à effectuer de quatre-vingt-seize, qui doit avoir lieu à cause des lignes doubles 
ou des lignes de rebroussement du cône. En supposant qu’il y a y de celles-ci et æ de 
celles-là (outre les seize lignes doubles dont on a fait mention), il faut que l’on ait 
2x + Sy =96,