SUR LA SURFACE DES ONDES. 
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ou x + y ne doit pas être plus grand que trente-neuf ; mais cela ne suffit pas pour 
déterminer ces deux nombres. 
Nous pouvons encore ajouter que les seize cônes qui touchent la surface aux points 
singuliers sont circonscrits, quatre à quatre, à quatre surfaces du second ordre, et que 
les seize courbes de contact des plans singuliers sont situées quatre à quatre sur quatre 
surfaces du second ordre. 
Je vais donner maintenant une idée de la théorie analytique. En représentant par 
x = 0, y = 0, z = 0, w = 0 
les équations des quatre faces du tétraèdre, et par 
U= 0 
l’équation de la surface, U sera une fonction homogène du quatrième degré de 
x, y, z, w, laquelle, en faisant évanouir une quelconque des variables, doit se diviser 
en deux facteurs du second degré, fonctions paires des trois autres variables ; de plus, 
à cause de la condition par rapport aux points singuliers, U ne peut pas contenir de 
terme xyzw. On doit donc avoir 
U — Ax 4 + Bxf + G z 4 4- 2 Fy 2 z 2 + 2 Gz 2 a? -f 2 Hx 2 y 2 + 2 Lx 2 w 2 + 2My 2 w 2 + 2 Nz 2 w 2 + Piv 4 , 
où il faut que les coefficients A, B, G, P, F, G, H, L, M, N aient un système inverse 1 
de la forme 0, 0, 0, 0, f, g, h, l, m, n. Donc, en formant l’inverse de ce système, on 
obtient, toute réduction accomplie, 
U = mnfx 4 + nlgy 4 + Imhz 4 + fghw 4 
+ ( If — mg — nh) ( ly 2 z 2 + fx 2 w 2 ) 
+ (—//’+ mg — nh) (mz 2 x 2 + gy 2 vf) 
+ (—(/ — mg + nh) ( nx 2 y 2 + hz 2 w 2 ) = 0. 
En effet, en écrivant 
X = If — mg — nh, p = — lf+ mg — nh, 
v = — If— mg + nh, w — If + mg + nh, 
V = Pf 2 + mpf + n 2 lP — 2mngh - 2nlhf— 2lrnfg, 
l’équation de la courbe pourra s’écrire sous les quatre formes 
(2mnfx 2 + nvy 2 + myz 2 + f\w 2 ) 2 = V (n 2 y 4 + m 2 z 4 +f 2 w 4 — 2mfz 2 w 2 — 2fnw 2 y 2 — 2nmy 2 z 2 ), 
( nvx 2 + 2 nlgy 2 + lXz 2 -f gyw 2 ) 2 = V (P z* + g 2 w 4 + n 2 x 4 — 2gnw 2 x 2 — 2 ni x 2 z 2 — 2Ig z 2 w 2 ), 
( m/juP + l\y 2 + 2lmhz 2 + hvw 2 ) 2 = V (h 2 w 2 + m 2 x 4 + l 2 y 4 — 2ml x 2 y 2 — 2Ih y 2 w 2 — 2hmw 2 x 2 ), 
( f\x 2 + gpy 2 + livz 2 + 2fghw 2 ) 2 = V {f‘ 2 x 4 + g 2 y 4 + h 2 z 4 — 2gh y 2 z 2 — 2hf z 2 x 2 — 2fg x 2 y 2 ) ; 
1 En général, quand deux systèmes de quantités sont exprimés linéairement les uns au moyen des autres, 
on dit que les deux systèmes de coefficients sont des systèmes inverses ; on passe facilement de là à l’idée 
du système inverse des coefficients d’une fonction du second ordre, et de tels systèmes se rencontrent si 
souvent, que l’on doit avoir un terme pour exprimer sans circonlocution cette relation.