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SUR LA SURFACE DES ONDES. 
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ce qui met en évidence les équations des sections de la surface par les quatre plans 
du tétraèdre, et aussi celles des points singuliers, lesquelles sont, en effet, 
ny + mz ±fw = 0, Iz ± gw ±nx = 0 , 
hw ± mx ±ly = 0, fx ± gy ± hz = 0 ; 
et ces plans touchent la surface suivant les courbes d’intersection avec les surfaces 
2mnfx 2 + nvy 2 + m/az 2 + f\w 2 = 0, &c., &c., 
ce qui démontre le théorème énoncé par rapport aux seize courbes de contact des 
plans singuliers, et de là celui pour les seize cônes tangents aux points singuliers. 
Pour déduire de là la forme ordinaire de l’équation de la surface des ondes, écrivons 
l = a/3y (by — c/3), m — a/37 ( ca — ar v)> n — a fiy («/3 — ba), 
f= kaa (by — c/3), g = kb/3 (ca. — ay), h = key (a/9 — ba), 
équations qui suffisent pour déterminer les rapports 
a : b : c : a : /3 : 7 : k 
au moyen de l, m, n, f g, h. De cette manière, l’équation de la surface se réduit à 
a/3y (ax~ + by 2 + cz 2 ) (ax 2 + /3y 2 + 7z 2 ) 
— kaa (by + c/3) x 2 w 2 — kb/3 (ca. + ay) y 2 w 2 — kcy (a/3 + ba) z 2 w 2 + k 2 abcw 4 = 0, 
laquelle se réduit à la surface des ondes en écrivant 
£, 7, £ étant des coordonnées rectangulaires, c’est-à-dire en faisant la transformation 
homographique du tétraédroïde, de manière que l’un des plans du tétraèdre passe à 
l’infini, et que les trois autres deviennent rectangulaires. De plus, en particularisant 
la transformation de manière que trois des coniques d’intersection se réduisent à des 
cercles, cette surface rentre dans la surface des ondes. Il va sans dire que, dans le 
cas général, plusieurs des points ou des plans dont nous avons parlé sont nécessaire 
ment imaginaires ; l’énumération de tous les cas différents aurait été d’une longueur 
effrayante. Il y aurait beaucoup à dire sur les cas particuliers où quelques-unes des 
coniques se réduisent à des paires de droites (réelles ou imaginaires). Je me contente 
d’énoncer cette propriété, très-facile à démontrer, de la surface ordinaire des ondes : au 
cas où c = 0, cette surface peut être engendrée par un cercle (ayant le centre de la 
surface pour centre, et dans un plan passant par l’axe des z), lequel se meut de 
manière à passer par la conique 
a 2 x 2 + c 2 y 2 = a 2 b 2 . 
On trouve, dans le Cambridge and Dublin Mathematical Journal, t. 1. [1846], p. 208, 
[38] la démonstration d’une autre propriété de la surface des ondes par rapport aux 
lignes de courbure des surfaces du second ordre. 
C. 
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