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48. 
NOTE SUR LES FONCTIONS DE M. STURM. 
[From the Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (Liouville), tom. xi. (1846), 
pp. 297—299.] 
On sait que la suite des fonctions 
fx = (x — a)(x — b)(x — c) (x — d) ..., 
f x x = % (x — b) (x — c) (x — d) ... , 
fific = % (a —b) 2 (x — c) (x — d) ..., 
f 3 x = S (a — b) 3 (b — c) 2 (c — a)* (x — d) ... , 
est de la plus grande utilité dans la théorie de la résolution numérique des équations. 
En effet, on obtient tout de suite à leur moyen le nombre de racines réelles comprises 
entre deux limites quelconques. Il était donc intéressant de chercher la manière 
d’exprimer ces fonctions par les coefficients de fx. 
Soit, pour cela, m un nombre quelconque, pas plus grand que le degré n de cette 
fonction. En prenant k pour m ième racine de la suite a, b, c, ... , et mettant, pour 
abréger, 
P — (—(a — b)(a — c)...(a — k)(b — c)...(b—k)... (j — k), 
cela donne 
dans laquelle expression 
P2 
Ux : fx = (¿. _ k) 
1, a,..., a m ~ l , 
1, b,..., b m ~\ 
1, k,..., k m ~\