48] 
et, de plus, 
NOTE SUR LES FONCTIONS DE M. STURM. 
307 
R* 
m(m — 1) 
\b-c)... (b-k)... (j-k) 
(x — a) 
(x — a)(x — b) ... (x — k) 
dans laquelle le coefficient de x~ r est égal à 
(—i) [ a r-1 (b- C ) ...(b~k) . .(j-k) + ...], 
c’est-à-dire à 
+ ... 
1, a, 
• • * ; 
a m ~\ 
a r_1 
1, b, 
b m ~ 2 , 
Jf-i 
1, k, 
• • • 
fom-2 
k'- 1 
Donc enfin le coefficient de x _r 
dans f m x : 
fx est 
égal à 
S 
1, a,..., 
a™- 1 
x 
1, a, 
..., a m ~\ a r ~ 1 
1, k, ... , 
fom—1 
1, &, 
fcm—2 pi'—J 
où, au moyen d’une propriété connue des déterminants, en représentant 
l’ordinaire par S g la somme des q Vemes puissances de toutes les racines, ce 
devient égal à 
50, S 1 , ... , S m -2 , S r -i 
51, S 2 , ... , Sm-1 , S r 
De là, en mettant 
Syn—l > S m , ... , 3 2m —3> S r .(-m—2 I 
a q 
x — a 
• fa 
50, sS m _ 2 , To 
51, So,..., S m -1, T! 
Sin—ij S m > ••• , S 2 m—3, m—i 
en multipliant par fa, et mettant 
Qm, r — S m + r —î PiSm+r—2 • • ■ ffi ( Y PrSm—i : 
où l’on suppose 
on obtient 
f m x — ^¿ r x n % 
fx — x n — p 1 X n ~ ï ... + (—) n p ri 
So , Si , ... , S ln —2 , Qm, r 
S 1} So,..., S^i, Qm+i, r 
Sm—1 ) S m , ... , 32VI—3, Q‘2 
2m—1, r 
comme à 
coefficient 
39 — 2