308 NOTE SUR LES FONCTIONS DE M. STURM. [48
où r peut ne s’étendre que depuis 0 jusqu’à n — m, puisque f m x est fonction entière.
Au moyen des relations connues qui existent entre les quantités S q , on a
Qm+s ,r — ( ) Pr+1 $m+8—2 •••'('( ) n Pn *8/-+m+s—n—1 ... \v -t - Til 4" S > Tl\ ,
Qm+s, r = ( )’ pr+i $m+s—2 • ■ • + ( — -) r + w + s ° p r+m+s _ 2 S 1
+ (-) r+m+s - 2 Pr +m+ s-i (r + m + s- 1)
r + m + s < n
et de là, en posant
Q m+s, r ~ ( y +m 1 Pr+m $s—i • • • F ( ) n 1 pn ^r+m+s—n—1 • • • [V + Wï + S > 7l\ ,
Q'm+s, r = (~) r+m - i p r+ m Ss-i • • • + (-) r+m+s ~ s p r+m+ s-2 &
+ (-y +tn+s ~ 2 Pr+m+s-1 (r + m + s- n- 1)
r + m + s < n
on peut, par les propriétés des déterminants, réduire Q m+S> r à Q'm+s, r dans l’expression
de f m x. Nous avons donc exprimé cette fonction au moyen des coefficients p 1} p^ ...
et des sommes S x , S 2 , ..., S 2m ~ 3 , lesquelles s’expriment facilement par ces mêmes
coefficients (et pour calculer f x x, f 2 x,, f n x, on aurait seulement besoin de calculer ces
sommes une fois pour toutes jusqu’à 3 ) ; il serait donc facile de former (íes tables
de ces fonctions, pour les équations d’un degré quelconque, ce qui pourrait à peine
s’effectuer d’aucune autre manière.
