y- 
0 = -|- f (c-ix) r ~ l e ix dx (8), 
49]' SUR QUELQUES FORMULES DU CALCUL INTÉGRAL. 311 
Je passe à quelques autres applications de ces principes, qui ont rapport à la 
théorie des fonctions T. Soit d’abord r un nombre positif plus petit que l’unité, et 
écrivons 
U = 
e ix dx ; 
on obtient 
e ix dx + 
e ix dx, 
ou enfin, puisque x est positif dans ces deux intégrales, 
U = (r-1)7ri f x r ~ x e ix dx 4- e~% {r ~ l) ni f x r ~ l e~ ix dx ; 
J 0 J 0 
au moyen de la formule connue, 
on en conclut 
savoir 
e ±ix dx = e ± ^ rni Tr, 
U = 2 cos (r — -|) 7T. Tr = 2 sin vit . IV, 
sin tit . IV = ^ 
e ix dx. 
On obtiendrait de même 
e ix dx. 
Au premier coup d’œil, ces équations pourraient paraître en contradiction l’une 
avec l’autre : mais cela n’est pas ainsi, parce qu’il n’est pas vrai que (— ix) r ~ l soit égal à 
(— l) r_1 (ix) r ~ l , (— l) r_1 étant facteur invariable; mais au contraire {-ix) r ~ l = e ±{r ~ 1)ni {ix)^ 1 , 
selon que x est positif ou négatif. 
Dans la première de ces équations, on peut remplacer ix par c + ix, et dans la 
seconde, —ix par c — ix, c étant positif; mais cela n’est pas permis pour c négatif, à 
cause de la discontinuité de valeur de (c + ix) 1 - 1 ou (c - ix) r ~ J dans ce cas, quand x 
passe par zéro. En multipliant la première équation par e~ c , et différentiant un nombre 
quelconque de fois, en admettant, pour les valeurs négatives de r, l’équation 
T (r + 1) = rTr, 
la formule ne change pas de forme, et l’on obtient 
sin virTv. e~ c = -2 (c + ix) r ~ l e ix dx (7) ; 
J — oo 
et de même, au moyen de la seconde équation,