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49] SUE, QUELQUES FOEMULES DU CALCUL INTÉGEAL. 
ou en écrivant k + ai au lieu de ai, k étant positif, 
%(m, n) = 
2 sin mr J _ œ (1 — k — ai) 
(k + aî) n ~ x da 
m+n 
(21), 
formule qui est vraie, même pour les valeurs négatives de n. En effet, si cette formule 
est vraie pour une valeur quelconque particulière de n, elle sera aussi vraie pour la 
valeur n+p, p étant entier positif quelconque; ce qui se démontre au moyen des 
formules de réduction: donc il ne s’agit que de la démontrer au cas où n est positif 
et plus petit que l’unité, et dans ce cas, puisque la fonction à intégrer est toujours 
finie, on peut écrire sans crainte k + ai au lieu de ai, ce qui la réduit à la formule 
qui vient d’être démontrée ; donc cette formule (21) est la définition cherchée, au cas 
où n est négatif, ou positif et plus petit que l’unité. 
Si, de plus, m est négatif, ou positif et plus petit que l’unité, l — m sera positif, 
et l’on déduira 
Ym T n _ T (1 — m — n) Y n sin (m 4- n) ir 
%(m, ri) = 
Y (m+n) F (l—m) 
sm mir 
c’est-à-dire 
g (m, n) - ++L+JHI g (1 - m - ,) ; 
sin mir 
ou enfin, par l’équation (21), 
— , s sin (m + n) 7r 
ü (m, n) = a ,- v - +-— 
2 sm n nr sm mr 
co 
(k + fa) w-1 (1 — k — da, 
oo 
laquelle suppose seulement que m + n soit négatif, ou positif et plus petit que l’unité. 
Elle présente une analogie assez frappante avec l'équation ordinaire 
%(m, n) = 
(1 — a) m ~ x da 
qui correspond aux valeurs positives de m, n ; de même que l’équation (21) est analogue 
à cette autre forme 
. r a n ~ l da 
m • n) =J 0 (T+r*’ 
cpii correspond aussi aux valeurs positives de m et n. 
On peut se proposer de vérifier l’équation (m et n positifs et plus petits que l’unité) 
Tm Fw = 
4 sin mir sin mr 
.00 p 00 
dxf dy (ix) m ~ l (iy) n ~ l e l(x+y) , 
— oo J —00 
en transformant le second membre au moyen de x = ay. Pour cela, on distinguera 
quatre cas, selon que x et y sont tous les deux positifs ou négatifs, ou l’un positif 
et l’autre négatif. En mettant dans les deux premiers