50] 
317 
50. 
SUR QUELQUES THÉORÈMES DE LA GÉOMÉTRIE DE POSITION. 
[From the Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle), tome xxxi. (1846), 
pp. 213—227.] 
§ I. 
En prenant pour donné un système quelconque de points et de droites, on peut 
mener par deux points donnés des nouvelles droites, ou trouver des points nouveaux, 
savoir les points d’intersection de deux des droites données ; et ainsi de suite. On 
obtient de cette manière un nouveau système de points et de droites, qui peut avoir la 
propriété que plusieurs des points sont situés dans une même droite, ou que plusieurs 
des droites passent par le même point ; ce qui donne lieu à autant de théorèmes de 
géométrie de position. On a déjà étudié la théorie de plusieurs de ces systèmes ; par 
exemple de celui de quatre points ; de six points, situés deux à deux sur trois droites 
qui se rencontrent dans un même point; de six points trois à trois sur deux droites, ou 
plus généralement, de six points sur une conique (ce dernier cas, celui de l’hexagramme 
mystique de Pascal, n’est pas encore épuisé ; nous y reviendrons dans la suite), et même 
de quelques systèmes dans l’espace. Cependant il existe des systèmes plus généraux 
que ceux qui ont été examinés, et dont les propriétés peuvent être aperçues d’une 
manière presque intuitive, et qui, à ce que je crois, sont nouveaux. Commençons par 
le cas le plus simple. Imaginons un nombre n de points situés d’une manière quel 
conque dans l’espace, et que nous désignerons par 1, 2, 3, ... n. Qu’on fasse passer par 
toutes les combinaisons de deux points des droites, et par toutes les combinaisons de 
trois points des plans ; puis coupons ces droites et ces plans par un plan quelconque, 
les droites selon des points, et les plans selon des droites. Soit a/3 le point qui cor 
respond à la droite menée par les deux points a, /3; soit de même /3y le point qui 
correspond à celle menée par les points /3, 7, et ainsi de suite. Soit de plus a/3y la 
droite qui correspond au plan passant par les trois points a, /3, 7, etc. Il est clair que 
les trois points a/3, ay, f3y seront situés dans la droite a/37. Donc en représentant par