50] SUR QUELQUES THÉORÈMES DE LA GÉOMÉTRIE DE POSITION. 319 
Si par exemple le second pentagone doit avoir un de ses angles sur un point 
donné d’un côté du premier, la construction se déduit tout de suite de ce qui précède. 
Ces paires correspondantes de pentagones forment une figure connue. On en trouve 
la construction dans une note de M. [J. T.] Graves dans le Philosophical Magazine [vol. 
xv. 1839], mais la même figure est encore mieux connue sous un autre point de vue. En 
effet, considérons le point 12, et les droites 123, 124, 125 qui passent par ce point; puis 
les triangles dont les angles sont 13, 14, 15 et 23, 24, 25. Les côtés de ces mêmes 
triangles sont 134, 335, 145 et 234, 235, 245, et les côtés correspondants se rencontrent 
dans les points 34, 35, 45 qui sont en ligne droite. Donc le théorème sur les penta 
gones est le suivant : 
“Si les angles de deux triangles sont situés deux à deux dans trois droites qui se 
rencontrent dans un point, leurs côtés homologues se coupent dans trois points en ligne 
droite.” 
Remarquons aussi que ce théorème particulier (en n’empruntant rien des trois 
dimensions de l’espace) reproduit le théorème général relatif au nombre n. Il n’y a 
pour cela qu’à considérer n droites passant par le même point, et qui peuvent être 
désignées par 1, 2, 3, ... n. En choisissant d’abord les points 12, 13, tout triangle dont 
les trois angles sont situés dans les droites 1, 2, 3, pendant que deux de ses côtés 
passent par 12, 13, a la propriété que le troisième côté passe par un point déterminé 
23 situé dans la droite passant par 12, 13. En prenant arbitrairement le point 14, 
on obtient avec les droites 1, 3, 4 ou 1, 2, 4 les nouveaux points 34, 24 qui sont en 
ligne droite avec 23, et ainsi de suite. 
Passons au cas n = 6. Il existe ici quinze points situés trois à trois sur vingt 
droites, ou bien vingt droites qui se coupent quatre à quatre en quinze points. Il n’y 
a point ici des systèmes d’hexagones, mais il existe un système de neuf points qui est 
assez remarquable. Divisons d’une manière quelconque les numéros 1, 2, 3, 4, 5, 6 en 
deux suites par trois, par exemple en 1, 3, 5 et 2, 4, 6, et considérons les neuf points 
12, 
14, 
16, 
32, 
34, 
36, 
52, 
54, 
56. 
Les droites qui passent par 12 et 32, 14 et 34, 16 et 36, savoir 132, 134, 136, se 
rencontrent dans le même point 13. De même les droites qui passent par 32 et 52, 34 
et 54, 36 et 56 se rencontrent dans 35, et les droites qui passent par 12 et 52, 14 et 54, 
16 et 56 se rencontrent dans 15. Les points 13, 15 et 35 sont sur la même droite 135. 
En considérant les points 12, 14, 16 comme formant un triangle, et de même les points 
32, 34, 36 et 52, 54, 56, cela revient à dire que les droites menées par les angles homo 
logues des triangles prises deux à deux, se rencontrent trois à trois dans trois points 
situés dans la même droite. Ou bien, ce que l’on savait déjà par le théorème 3 : les 
côtés homologues des triangles se rencontrent trois à trois dans trois points situés en 
ligne droite. En effet, les côtés des triangles sont 124, 126, 146 pour la première, 
et 324, 326, 346 et 524, 526, 546 pour les deux autres. Les trois premiers côtés se