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SUR QUELQUES THÉORÈMES DE LA GÉOMÉTRIE DE POSITION. 
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Je ne connais pas d’autres cas où l’idée des nombres premiers se présente dans 
la géométrie. Il sera peut-être possible de trouver des théorèmes analogues à III, IV, 
V, pour toutes les formes du nombre n, mais je n’ai pas encore examiné cela. 
Le théorème général I, peut être considéré comme l’expression d’un fait analytique, 
qui doit également avoir lieu en considérant quatre coordonnées au lieu de trois. 
Ici une interprétation géométrique a lieu, qui s’applique aux points dans l’espace. On 
peut en effet, sans recourir à aucune notion métaphysique à l’égard de la possibilité 
de l’espace à quatre dimensions, raisonner comme suit (tout cela pourra aussi être 
traduit facilement en langue purement analytique) : En supposant quatre dimensions de 
l’espace, il faudra considérer des lignes déterminées par deux points, des demi-plans 
déterminés par trois points, et des plans déterminés par quatre points; (deux plans 
se coupent alors suivant un demi-plan, etc.). L’espace ordinaire doit être considéré 
comme plan, et il coupera un plan selon un plan ordinaire, un demi-plan selon une 
ligne ordinaire, et une ligne selon un point ordinaire. Tout cela posé : en considérant 
un nombre n de points, et les combinant deux à deux, trois à trois, et quatre à quatre 
par des lignes, des demi-plans et des plans, puis coupant le système par l’espace con 
sidéré comme plan, on obtient le théorème suivant de géométrie à trois dimensions : 
Théorème VII. On peut former un système de IV 2 points, situés trois à trois 
dans N 3 droites qui elles-mêmes sont situées quatre à quatre dans IV 4 plans. En 
représentant les points par 12, 13, etc., les points situés dans la même droite sont 
12, 13, 23 ; et les droites étant représentées par 123 etc. comme auparavant, les droites 
123, 124, 134, 234 sont situées dans le même plan 1234. 
En coupant cette figure par un plan, on obtient le théorème suivant de géométrie 
plane : 
Théorème VIII. On peut former un système de N 3 points situés quatre à quatre 
dans Ni droites. Les points doivent être représentées par la notation 123, etc. et les droites 
par 1234, etc. Alors 123, 124, 134, 234 sont dans la même droite désignée par 1234. 
De même, en considérant un espace à p + 2 dimensions, on obtient la proposition 
suivante, encore plus générale : 
Théorème IX. On peut former dans l’espace un système de N p points, qui passent 
p -fl à p + 1 par N p+1 droites, situées p + 2 à p + 2 dans N p+3 plans, ou bien pour la 
géométrie plane, un système de N p points, situés p + 1 à p +1 dans N p+1 droites. 
Des théorèmes analogues à IV et V seraient probablement très nombreux et très 
compliqués. 
Les réciproques polaires auront évidemment lieu pour tous ces théorèmes ; on pour 
rait aussi les démontrer directement d’une manière analogue. 
C. 
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