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SUR QUELQUES THÉORÈMES DE LA GÉOMÉTRIE DE POSITION. 
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§ II. 
SUR LE THÉORÈME DE PASCAL. 
En considérant six points sur la même conique, et les prenant dans un ordre 
déterminé, pour en former un hexagone, on sait que les côtés opposés se rencontrent 
dans trois points situés en ligne droite. En prenant les points dans un ordre quel 
conque, on en peut former soixante hexagones* à chacun desquels correspond une 
droite ; il s’agit maintenant de trouver les relations entre ces droites. 
M. Steiner a prouvé dans son ouvrage Systematische Entwickelungen u. s. w. [1832], 
que ces soixante droites passent trois à trois par vingt points, et il ajoute que ces 
vingt points sont situés quatre à quatre sur quinze droites. La première partie de ce 
théorème peut être démontrée assez facilement, comme nous le verrons : mais pour la 
seconde partie, je n’ai pas réussi à trouver les combinaisons de quatre points qui 
doivent être situés en ligne droite, et il me paraît même qu’il est impossible de les 
trouver 1 . 
Cherchons les combinaisons des droites qui doivent passer trois à trois par le 
même point. 
Soient 1, 2, 3, 4, 5, 6 les six points situés sur la même conique. Considérons 
d’abord l’hexagone 123456 que l’on obtient en prenant les points dans un ordre déter 
miné. Suivant le théorème de Pascal les trois points 
12.45, 23.56, 34.61 
(où 12.45 désigne le point d’intersection des lignes passant par les points 1, 2 et 
4, 5) sont situés en ligne droite. Considérons les six hexagones 
1 2 3 4 5 6 
1 4 3 6 5 2 
1 6 3 2 5 4 
1 4 3 2 5 6 
1 2 3 6 5 4 
1 6 3 4 5 2 
qu’on tire du premier en permutant les nombres 2, 4, 6 correspondants aux sommets 
alternés de l’hexagone. Pour les trois premiers on fait les permutations cycliques de ces 
nombres (savoir 246, 462, 624), pour les trois autres on fait d’abord une inversion 426, 
1 Je ne sais pas s’il existe une démonstration de la seconde partie du théorème; je n’ai pu la trouver nulle 
part. Au cas que cette partie du théorème n’était pas correcte, il paraît que l’on devra peut-être lui substituer 
la proposition suivante: “Les vingt points déterminent deux à deux dix lignes qui passent trois à trois par dix 
points.” On verra dans ce qui suit, de quelle manière il faudrait combiner ces points. [Voir 55.]