50] SUR QUELQUES THEOREMES DE LA GÉOMÉTRIE DE POSITION. 327 
Ecrivons les équations des lignes comprises dans la table de neuf points ci-dessus 
donnés. On a d’abord 
fxvP + fxQ + 
vR = 0, 
P + vQ + /xR = 0, 
P = 0, 
A P + fxQ + A [xR = 0, 
/xP -f- A Q q~ R — 0, 
R = 0, 
A P q- vAQ 
vR = 0, 
vP + Q + A R = 0, 
Q= 0. 
En combinant la seconde et la troisième colonne verticale du tableau, on obtient 
pour les trois points d’intersection des côtés opposés de l’hexagone 123456, les équations 
( P = 0, /iQ + vR = 0 ), 
( R = 0, AP + [xQ = 0 ), 
( Q = 0, \P + vR = 0 ), 
qui appartiennent à trois points situés sur la droite 
AP + /xQ + vR = 0, 
ce qui suffit pour démontrer le théorème de Pascal. 
On obtient de même, en combinant les autres paires de colonnes verticales, deux 
systèmes de trois points, respectivement situés dans les droites 
P Q R A 
V + - + -, = 0 et 
A /x V 
(^ + - + f) x /xv + ^P+vQ+vR = o, 
lesquelles, avec la droite qu’on vient de trouver, 
AP + fxQ + vR = 0, 
se rencontrent évidemment dans un même point, déterminé par les deux équations 
A P + /xQ + vR = 0 et 
P 
A + 
Q R A 
- + - = 0. 
IX V 
Voilà une démonstration de la première partie du théorème de M. Steiner. Les 
équations que nous venons de trouver appartiennent au point d’intersection des trois 
droites qui correspondent au premier des trois hexagones du symbole 1.3.5. Pour 
trouver l’autre point correspondant de la même manière à ce symbole, il faut combiner 
les colonnes horizontales, ce qui donne pour les coordonnées de ce point : 
(A — ¡xv) P = (/x — vX) Q — (v — A/x) R. 
En cherchant de même les expressions des points qui correspondent aux symboles 
1.3.6 et 1.5.6, on obtient des résultats moins élégants, mais qui valent peut-être 
la peine d’etre énoncés ici. 
Je forme cette table complète :