52] SUR QUELQUES PROPRIETES DES DÉTERMINANTS GAUCHES. 333 
effectuée avant d’avoir particularisé ces quantités par les équations (1), (2). On sait 
que ces fonctions A satisfont aux conditions 
g -/Vy g' 0 j 5 -4“ s , 
^ r \ r s A r _ g = K, 
>• (5). 
X r A r g A r ' s = 0 , t 4= v, 
ig\ r s A r g = A. y 
Je tire des équations (4), en échangeant r et s dans la dernière de ces équations : 
5gA r . s Pg = 2gAg. r Qg (6), 
et de là, en multipliant respectivement les différentes équations de ce système par r , 
et prenant la somme de ces produits : 
2g ( —'As'.rA. r g) Pg = 2g(2 r \g'.r Ag r ) Qs (7). 
On a d’abord par les équations (5) 
2g(2 r Xg'. r Ag. r ) Qg — KQ S ' (8) • 
puis par les équations (1) et (2) 
ipy g — 2A S '.g 2 r Ar g^ 
c’est-à-dire par les équations (5) : 
•(9), 
et 
ce qui donne 
.(10); 
2 r Ag'_ r A r .g —2A S '_g ; s 4=6")^ 
2 r Ag' j. A r g ' = 2Ag'_ g ' K j 
2g (2 r Vr A r .g) Pg = 2(SgAg-.gPg) - PP«- (11). 
Substituant les équations (8) et (11) dans la formule (7), on obtiendra, en écrivant r 
au lieu de s' : 
KQ,-Z(Z,A r ..P.)-KP, 
(12), 
et également 
KP, = 2 (î, r A r .,Q r ) — KQ, 
(13). 
Posant maintenant 
Ka r g = 2A r g ; r + 
(14): 
et 
Ka r r = 2A r r — K ) 
les formules (12), (13) se changeront en 
Qr ~ . s Ps ®t Pg — 2,.of r S Q,- 
(15):