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SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES DÉTERMINANTS GAUCHES. 
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équations qui sont nécessairement équivalentes. On a donc identiquement 
(1) 
SCt rs (X r6 
l, Sr s . s 
/g\\ ( «s . s &r' 
{ } 1 V 
V As . s . 
= 0 ; s + s', ' 
= 1, 
= 0; rffir', 
= 1: 
.(16), 
c’est-à-dire, on a trouvé un système de n 2 quantités a rg , fonctions explicites et 
rationnelles d’un nombre ^n(n— 1) de variables indépendantes, qui satisfont identi 
quement aux formules (16, 1) et (16, 2). On sait qu’en géométrie cela veut dire que 
pour n = 2 ou n = 3 de tels systèmes donnent les coefficients propres à effectuer la 
transformation de deux systèmes de coordonnées rectangulaires ; nous dirons par analogie, 
que des systèmes qui satisfont aux équations (16) pour une valeur quelconque de n, 
sont propres à effectuer la transformation entre deux systèmes de coordonnées rectangu 
laires. On a donc le théorème suivant : 
Les coefficients propres à la transformation de coordonnées rectangulaires, peuvent 
être exprimés rationnellement au moyen de quantités arbitraires X r s , soumises aux 
conditions 
A g r = X s r [V s] 5 Ay r — 1. 
Pour développer les formules, il faut d’abord former le déterminant K de ce système, 
puis le système inverse A rg ,... et écrire 
Ka r s = 2A r g [r 4 s] ; Ka, r = 2A r r — K ; 
ce qui donne le système cherché. 
Soit par exemple n = 3. Ecrivons pour le système des quantités X,. s : 
U v, —/a, 
-v, 1, X, j- 
AL X, 1) J 
(17), 
ce qui donne K = 1 + X 2 + ¡A + v 2 , et pour le système des fonctions A r g 
1+X 2 , 
X fi + v , 
vX- fifi 
! 
Xfi — v , 
1+^ 2 , 
fiv + x, : 
vX + fi, 
fiv — X, 
1+V 2 .} 
De là on obtient pour le système de coefficients 
a, fi, y; 
a', fi', y'- a", fi", y" 
K a — 1 + X 2 — fi 2 — v 2 , Ka' = 2 (X/x + v) , Ka" = 2 (vA - fi) A 
K/3= 2{Xfi-v) , Kfi' = (l +fi 2 -v 2 -A 2 ), K fi" = 2 (fiv + X) ,[...(19). 
À y = 2 (vX + /i) , Ky = 2 (fiv — X) 
ce qui se rapporte à la transformation 
æ = a x 1 + fi y 1 + y z lt 
y = a' æ t + fi' y 1 + y' z Y , 
z = a " x \ + ff'yi + y %, 
, Ky" = (1 + v 2 - X 2 - fl 2 ) ; J 
x 1 = ax + a'y + a!'z , ') 
y 1 = fix+fi'y + fi”z, j- (20), 
z 1 = yx + y y + y" z, J