52] 
SUE, QUELQUES PEOPRIETÉS DES DÉTERMINANTS GAUCHES. 
335 
de deux systèmes de coordonnées rectangulaires. En effet, les coefficients A, g, v ont 
une signification géométrique: Les axes Ax x , Ay l , Az x vont coïncider avec les axes 
Ax, Ay, Az, par la rotation 6 autour d’un certain axe A R (qu’on peut nommer 
“ Axe résultant ”). En prenant f g, h pour les inclinaisons de cet axe à Ax, Ay, Az, 
on a A = tang \d cosf g = tang\d cos^, v — tang \Q cos h. Cette expression de l’axe AR 
est due à Euler; les quantités A, g, v ont été introduites pour la première fois, par 
M. Olinde Rodrigues, dans un mémoire “ Sur les lois géométriques qui régissent les 
déplacements d’un système solide” (Liouville, tom. V. [1840]), où il donne [des expres 
sions semblables à celles] qu’on vient de trouver ici, pour les coefficients de la trans 
formation, en termes de A, g, v. Ces mêmes quantités A, g, v (il y a à remarquer 
cela en passant) sont liées de la manière la plus étroite avec celles de la belle théorie 
de Sir W. Hamilton sur les Quaternions. Je les ai appliquées à la théorie de la 
rotation d’un corps solide. Avant de donner une idée des résultats auxquels je suis 
parvenu, je passe aux formules de transformation qui se rapportent au cas de n = 4. 
Je prends ici pour le système des quantités A : 
h 
a, 
b, 
8 
c, 
-a, 
1, 
-h, 
g> 
[ 
-b, 
h, 
1, 
-f 
— o, 
-9’ 
f 
ij 
, 
ce qui donne, en mettant pour abréger, af+ bg + ch = 6, 
K = 1 + a? + b 2 + c 2 + f 2 + g 2 + h? + d 2 
et puis pour les quantités A r s le système 
1 4-J 2 + g 2 + h~, fd + a + bh — cg, gô 4- b + cf — ah, 
—fd — a 4-bh — cg, 1 +/ 2 + b 2 + c 2 , 
— g6 — b + cf - ah, cd + h +fg — ab, 
— hd — c +ag — bf , —bô — g + hf — ca, 
de manière que pour 
(22), 
— cd — h +fg — ab, 
1 +g 2 + c 2 + a 2 , 
a$ + f+gh — bc, 
on obtient le système suivant 
K a, 
Ka', 
Ka", 
KoT f 
m 
KP, 
KP", 
KA'", 
Ky, 
Kf, 
Ky", 
Ky'" t 
K8, 
KB', 
K8", 
K8'", ; 
-cg) 
2 (gd 
+ b4-cf 
hd + c + ag — bf, A 
bd R g 4- hf — ca, 
ad — f gh — bc, 
1 4-h 2 4- a 2 + b 2 , j 
(23), 
(24), 
2(hd + c 4-ag—bf ) 
2 (bd 4-g 4- hf— ca) 
2 (-fd-a+bh-cg) , 14-f 2 +b 2 4-c 2 -g 2 -h 2 -a 2 , 2 (- cd-h + fg - ab) 
2 (~gd- b 4- cf- ah) , 2 (cd 4-h4-fg—ab) , l4-g 2 4-c 2 4-a 2 —f 2 —h 2 —b 2 , 2 (—ad—f 4-gh — bc) 
2 (—hd — c 4-ag - bf) , 2 (— bd — g + hf — ca) , 2 (ad 4-f+gh — bc) , 14-h 2 4-a 2 4-b 2 —f 2 —g 2 —c 2 
et ainsi de suite pour des valeurs quelconques de n.