338 RECHERCHES SUR L’ÉLIMINATION, ET SUR LA THÉORIE DES COURBES. [53
Pour faire voir tout cela avec plus de clarté, prenons pour exemple le problème
suivant de Géométrie analytique :
“ Trouver les équations du système des lignes tirées par un point donné aux points
d’intersection de deux courbes données.”
Soient U = 0, V = 0 les équations des deux courbes, U, V étant des fonctions
homogènes des variables x, y, z, des ordres m et n respectivement, ce qui revient à
prendre x : z et y : z pour coordonnées d’un point. De même il faut exprimer par
(a, fi, y) le point dont les coordonnées sont a : 7 et /3 : 7; et ainsi pour tous cas
semblables. Il s’entend, qu’on suppose partout que les coefficients de U, V, ou de U,
restent absolument indéterminés. Représentons par (a, fi, 7) le point donné, et par
(£, V) 0 un point quelconque d’une des lignes dont il s’agit. En éliminant x, y, z
entre les équations
7=0, 7=0, et x((3Ç-yri) + y(yÎ;-cit;) + z(ar]-/3i;) = 0 (1),
on obtient l’équation cherchée 0 = 0. Ici 0 est une fonction homogène de l’ordre mn
par rapport à fiÇ — 777, 7£ — aÇ et arj — /3% ; de l’ordre n par rapport aux coefficients de
7 ; et de l’ordre n par rapport à ceux de V; de plus cette fonction est décomposable
en mn facteurs linéaires par rapport à £, 77, £, dont les coefficients sont des fonctions
irrationnelles de a, ¡3, 7 et des coefficients de 7 et V (en effet toute fonction homo
gène de fiÇ—yy, 7f—a£, <297 —/31£ est douée de cette propriété, qui subsiste encore en
échangeant entre eux £, 77, £ et a, /3, 7). Chaque facteur linéaire, égalé à zéro, appar
tient à une des lignes en question. Voilà pourquoi 0=0 est considérée comme
équation du système des lignes.
Soit maintenant proposé le problème :
“Trouver l’équation du système des tangentes tirées d’un point fixe à une courbe
donnée.”
Il y a ici à éliminer x, y, z entre les équations
7=0,
dU 0 dU dU A .
a -,—1- (3 -j—1- 7 -5- = 0 et
dx dy dz
x (BK - yv) + V (7? -a£) + z (an - fit) = 0.
.(2).
Le résultant complet est une fonction homogène de l’ordre n(n— 1) par rapport à
fiÇ-yy, y%-aÇ et ay — fig [n représente ici l’ordre de la fonction U), de l’ordre n
par rapport à a, fi, 7, et de l’ordre 2n — 1 par rapport aux coefficients de U. Mais il
existe dans ce cas un facteur spécial U 0 qui est ce que devient U en écrivant a, fi, y
à la place de x, y, z. En le mettant de côté, le résultant réduit <3> est fonction de
l’ordre n(n-1) par rapport à fiÇ-yy, yÇ-*Ç et ay - fiÇ, et de l’ordre 2(w-l) par
rapport aux coefficients de U, et l’équation ff> = 0 correspond au système de tangentes.
