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340 RECHERCHES SUR L’ÉLIMINATION, ET SUR LA THÉORIE DES COURBES. [53 
Théorème I. L’équation du système des droites menées par un point donné 
(a, /3, 7) aux points d’intersection des deux courbes U= 0, V= 0, se trouve en éliminant 
les nouvelles variables l, m entre les deux équations [CT] = 0 et [F] = 0, où [U], [F] 
sont ce que deviennent U et V par les substitutions 
x = al + %m, y = /31 + ym, z = yl+Çm (7). 
En opérant également sur le second système d’équations, on obtient directement 
le résultant réduit, sans que l’opération soit embarrassée par aucun facteur spécial. En 
effet, on peut remplacer le système par 
dU 
dx 
a — +/3^+7 
dU 
dy 
dU 
dU 
dz 
dU 
0, 
^ dx + V dy + l = dz °’ 
æ (fiÇ~yv) + y(yÇ- a£) + z(cty- = 0, 
■(8), 
et en faisant les substitutions (6) dans la dernière équation, les deux autres équations 
se changent en 
<T3 = 0 et *13 = 0 
dl dm 
où [£7] est ce que devient U par cette substitution. Le résultant de ces équations 
est de l’ordre 2n(n — 1) par rapport à a, /3, 7, £, y, Ç {c’est-à-dire une fonction de 
fiÇ — yy, yÇ — zÇ, zy — /3%, de l’ordre n(n— 1)}, et de l’ordre 2 (n — 1) par rapport aux 
coefficients de U ; donc il n’y a plus de facteur spécial. De là suit : 
Théorème II. L’équation du système de tangentes menées du point donné 
(a, /3, 7) à la courbe U = 0, se trouve en éliminant l, m entre les équations 
d[U] 
dl 
= 0, 
d[V] 
dl 
= 0, 
[ U] étant ce que devient U par les substitutions x = al+ %m, y = /31 + y m et z = <yl + Çm. 
En représentant l’équation par <ï> = 0, <ï> est une fonction de (3Ç — y y, <y% — a£, ay — /3%, 
et en remplaçant ces fonctions par x, y, z, on obtient l’équation de la polaire réciproque 
(par rapport à x 2 + y 2 + z~ = 0) de la courbe donnée. 
Ce beau théorème est dû à M. Joachimsthal, qui me l’a communiqué l’été passé 
pendant mon séjour à Berlin, avec une démonstration. 
On déduit de là, comme cas très particulier, une forme du résultant des deux 
équations ax 2 + 2bxy + cy 2 = 0 et a'x 2 + 2b'xy + c'y 2 = 0, citée dans mon mémoire sur les 
hyperdéterminants (t. xxx. de ce journal, [16]). En effet, soit & 2 = z, xy = — y, y 2 = x, et 
U—xz — y 2 , on aura évidemment U= 0, 
dU 7 dU dü „ 
ci-y- + b-y- + 0-7- = 0, 
dx dy dz 
,dU dU ,dU . 
et a! —y— + b' —j—h c' = 0, 
dx dy dz