53] RECHERCHES SUR L’ÉLIMINATION, ET SUR LA THÉORIE DES COURBES. 
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donc en cherchant le résultant de ces équations de la manière indiquée dans le théorème, 
on obtient la formule en question 4 (ac — b 2 ) (a'c' — b' 2 ) — (ac' + a'c — 2bb') 2 = 0. Cependant la 
véritable généralisation de cette formule, à ce que je crois, reste encore à trouver. 
Il suit des principes développés dans le mémoire cité, que le résultant des deux 
équations L = 0, M = 0 (où L, M sont des fonctions homogènes des deux variables l, m) 
peut toujours être présenté sous la forme © = VLL ... MM..., où V est une composition 
d’expressions symboliques, telles que (12)“ (13)0 ..., dans lesquelles (12) = \ 0 HÎ9 — d mi b hi , 
&c. Par exemple pour L = al 2 + 2blm + cm 2 , M — a'I 2 + 2b'lm + c'm 2 , on a 
© = {(12) 2 (34) 2 - (13) 2 (24) 2 } LL MM, 
{c’est-à-dire, comme ci-dessus, © = 4 (ac — b 2 ) (a'c' — b' 2 ) — (ac' + a'c — 2bb') 2 \. En appliquant 
cette théorie à l’élimination des inconnues entre les équations [f/'] = 0, [ V] = 0, on obtient 
bi -f fô'by H - ^U, et ¡n ~ 3 - T]Oy , 
et en faisant 
PK ~ VV = x , 7? - = y, a V ~ № = z, 
b Vx d Zl — dz 2 d Vl = (12), d Zi d Xi — d Zl = (12) , d x , d Vi — d x± d Vl = (12) ,,/ , 
cela donne 
(12) = x (12)' + y (12)" + z (12) /// : 
équation qui peut être présentée sous la forme abrégée 
(12) = (P 12). 
On obtient le résultant cherché en faisant cette substitution dans tous les symboles 
que contient V, et en introduisant U, V au lieu de [17], [F]. 
Les mêmes remarques peuvent être appliquées au cas d’une élimination entre les 
deux équations ^ = 0, = 0, car le résultant sera exprimé ici sous la même forme 
© = VLL .... Cherchons par exemple l’équation de la polaire réciproque d’une courbe 
du second ordre : en observant que le résultant des équations ~ = 0, ~ — 0 (où L 
ccc aux 
est une fonction du second degré) sera exprimé sous la forme © = (12) 2 LL, on obtient 
immédiatement pour la réciproque de la courbe du second ordre U=0, l’équation 
FU = (P12) 2 U U = 0, 
laquelle se réduit en effet à la forme connue. 
Passons au cas d’une courbe du troisième ordre. Comme pour une fonction de 
deux variables, le résultant des équations 
dX 
dl 
= 0,