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342 RECHERCHES SUR L’ÉLIMINATION, ET SUR LA THÉORIE DES COURBES. 
aura la forme 
© = (12) 2 (34) 2 (13) (42) LLLL, 
on a pour la polaire de P = 0, 
- 2F P = (P12) 2 (P34) 2 (P13) (P42) UUUU = 0, 
et il serait facile de calculer par là le coefficient d’une puissance ou d’un produit 
quelconque des variables. Par exemple le coefficient de z 6 se réduit à 
{(12) /// } 2 {(34Г} 2 {(13)"'} 2 {(42)'"} UUUU, 
ou, toute réduction faite, et en supposant 
6 U = аж 3 + b y 3 + cz 3 + 3 iy 2 z + Sjz 2 x + 3 Jcx 2 y + Siyyz 2 + Щ х гх? + Зржу 2 + 6 Ixyz 
à : 2 (бЪсщ — 4i 3 c — U 3 h + Зг\ 2 — De 2 ). L’équation complètement développée, que j’ai donnée 
pour cette polaire dans le Cambridge and Dublin Mathematical Journal, t. I. [1846], p. 97 
[35], et que j’ai obtenue par une élimination directe, pourra ainsi être vérifiée. 
Nous allons passer maintenant à la théorie des points d'inflexion et des tangentes 
doubles de la courbe U = 0. Ces singularités peuvent être traitées par une analyse 
semblable, en remarquant que parmi les n (n — 1) tangentes, menées à la courbe d’un 
point P situé sur la courbe, la tangente en ce point se présente généralement deux 
fois, et trois fois, selon que le point P est un point d’inflexion, ou un point de contact 
d’une tangente double. 
Désignons comme ci-dessus par (U) ce que devient U en écrivant Ix + ni£, 
ly + mi7, Iz + mÇ à la place de x, y et z. En mettant £d x + уд у + Çd z = Э, on a 
évidemment 
[U] = l n U + P -1 m dU + l n ~ 2m ‘ 2 о 2 & + ■■■ I 
et en éliminant l, m entre —= 0, = 0, on obtient un résultant © = 0, où © est 
une fonction de U, dU, d 2 U, ... d n U, et qui a, comme le remarque M. Joachimsthal, 
la propriété dont il s’agit. En écrivant U = 0, © contient le facteur (SP) 2 , et en 
mettant de côté ce facteur et écrivant dU — 0, © contient le facteur (3 2 U) 2 ; et ainsi 
de suite. Nous avons supposé que le point P, auquel appartiennent les coordonnées 
x, y et z, est un point de la courbe ; de manière que l’on a actuellement U — 0. En 
faisant donc cette supposition et en éliminant le facteur (S P) 2 , l’équation © = 0 prend 
la forme XdU + Y(d' 2 U) 2 = 0 {puisqu’en mettant 9P=0, l’équation contiendra à gauche 
le facteur (S 2 P) 2 }. Dans le cas où P est un point d’inflexion, ou un point de contact 
d’une tangente double, cette équation contiendra d U comme facteur : donc il faut que 
F(3 2 P) 2 contienne ce facteur, c’est-à-dire: ou S 2 P, ou F, contiendra le facteur dU. 
Dans le premier cas il s’agit d’un point d’inflexion, dans le second cas d’un point de 
contact d’une tangente double. 
Considérons d’abord les points d’inflexion. Comme S 2 P contient dU comme facteur, 
il faut que cette fonction devienne zéro pour toutes les valeurs de f, y, £ qui font