53] RECHERCHES SUR l’ÉLIMINATION, ET SUR LA THÉORIE DES COURBES. 343 
évanouir 0 U. Désignons par L, M, N les coefficients différentiels du premier ordre de 
U, de manière que dU = Ltj + My+NÇ. Cette quantité s’évanouit identiquement en 
faisant £ = ¡3N — yM, y = yL — aN, Ç=olM — (3L: donc il faut que d 2 U s’évanouisse par 
la substitution de ces valeurs, quelles que soient les quantités a, /3, y. En désignant 
par D ce que devient le symbole D par cette substitution, c’est-à-dire en faisant 
D = a (Md x - Nd y ) + ¡3 (Nd x — Ld z ) + y (.Ld y — Md x ), 
la condition d’un point d’inflexion se réduit tout simplement à 
D 2 U = 0: 
équation dans laquelle les symboles d x , d y , d z ne doivent pas contenir L, M, N. Nous 
reviendrons sur cette équation dans une note ; pour le moment il suffit de remarquer, 
qu’en vertu de relations qui existent entre L, M, N et les dérivées a, b, c, f, g, h du 
second ordre, on a identiquement 
(n — l) 2 D 2 U = n (n — 1) "'F. TJ — (ax + /3y + yz) 2 (V U), 
où ''E est une fonction de a, /3, y et des dérivées a, b, c, f, g, h, dont la forme sera 
donnée dans la suite, et 
VU— abc — a/ 2 - bg 2 — ch 2 + 2fgh. 
Donc à cause de U = 0, la seule condition pour déterminer les points d’inflexion est 
l’équation 
VU = 0, 
qui est de l’ordre 3 (n — 2) par rapport aux variables, et de l’ordre 3 par rapport aux 
coefficients de U. Cela est déjà connu par les recherches de M. Hesse. J’ai donné 
ici cette équation pour faire voir la liaison qui existe entre cette question et celle de 
trouver les tangentes doubles, à laquelle je vais passer maintenant. 
On obtient l’équation qui détermine les points de contact de ces tangentes, en 
faisant les mêmes substitutions £ = /3N — yM, &c. dans la fonction Y, et en égalant à 
zéro les coefficients des différentes puissances ou produits de a, /3, y. Remarquons que 
cette fonction Y s’obtient par une fonction de l’ordre n 2 — n par rapport à x, y, z, 
ou à £, 7], Ç, et de l’ordre 2 (n — 1) par rapport aux coefficients, en éliminant les 
facteurs (dU) 2 et (d 2 U) 2 , qui ensemble montent au degré 4n — fi par rapport à x, y, z, 
à 6 par rapport à £, rj, ¿f, et à 4 par rapport aux coefficients. Donc Y est des degrés 
n 2 — n — 6, n 2 — hn — 6 et 2n — 6 par rapport à x, y, z, à f, £, et aux coefficients de U, 
respectivement. En substituant donc £, 77, £, cette fonction devient de l’ordre n 2 — n— 6 
par rapport à a, /3, y, de l’ordre n s — 2n 2 — 10w +12 par rapport à x, y, z {savoir 
(n 2 — 5n + 6) + (n — 1)(n 2 — n— 6)}, et de l’ordre n 2 + n— 12 par rapport aux coefficients 
{savoir (2n — 6) + (w 2 — n— 6)}. Mais on sait que les conditions de l’évanouissement de 
Y doivent se réduire à une seule équation; et cela ne peut arriver que de la même 
manière dont la réduction analogue a eu lieu pour les points d’inflexion. En écrivant