53] RECHERCHES SUR I/ÉLIMINATION, ET SUR LA THÉORIE DES COURBES. 347 
2VMJV = + (af— 2gh) a — 6/b — c/c — 26c f — 2c6g — 2bgh, 
2VNL = — ago, + (bg — 26/) b — cgc — 2chî — 2 cag — 2a/h, 
2VLM = — aha, — 66b + (c6 — 2fg) c — 26gf — 2afg — 2a6h. 
Dans ces équations, si Lx + My + Nz était facteur de ax 2 + by 2 + cz 2 -f 2fyz + 2gzx + 2hxy, 
on aurait évidemment a = 0, b = 0, c = 0, f = 0, g = 0, h = 0, et de là V = 0, <£> = un carré, 
ce qui donnerait des formules plus simples, et auxquelles on pourrait encore donner 
plusieurs autres formes. Par exemple on tire d’un de ces systèmes, — le-MN$ = (Mg — NK) 
e- ©, &c., où © — (Mg — Nh)(Nh — Lf)(Lf— Mg), et de là les expressions 
L M N 
§ + «S + PS “ 
L 2 f M 2 g N 2 h _ 
t + "œ + W = 
LT 
§ 
+ 
M s g 2 N 3 h 3 
œ~ + 'w 
= LMN, 
auxquelles on pourrait ajouter encore plusieurs systèmes analogues, ce qui se ferait sans 
la moindre difficulté. 
Jusqu’ici L, M, N, a, 6, c,/, g, h ont été des quantités quelconques. En supposant 
quelles soient les dérivées du premier et du second ordre d’une fonction U, on a 
(n — 1) L = ax + hy gz, 
(n — 1) M = hx + by + fz, 
(n—\) N = gx +fy + cz, 
n(n-l)U = ax 2 + by 2 + cz 2 + 2fyz + 2g xz + 2hxy, 
et la substitution de ces valeurs donne la formule du texte : 
(n — l) 2 D 2 U — n (n — 1) A? . U — (olx + ¡3y + <yz) 2 (V U), 
(V U) étant ici = V, et ''P étant donnée par l’équation 
AT = &a 2 + 33/3 2 + (33V + 2 + 2(£x<yCL + 2fâap. 
Cela peut être vérifié facilement par la substitution actuelle : mais nous allons le 
démontrer par la théorie des hyperdéterminants. En effet, soit (123) le déterminant 
symbolique formé avec d Xl , d Vl , d Zl ; d Xi> d Vi , d Zi ; d x% , d Vi , d Zl , (4.23) le déterminant sym 
bolique formé avec a, /3, <y ; d Xl , d lh , 3 Zii ; 3 Xs , d ih , d Z3 , et ainsi de suite; puis soient T l , T. 2 , 
...les fonctions xd Xl +yd Vl +zd Zi , xd Xi +yd Vt +zd Zt , &c. et p = ax-\-(3y+ yz, on aura identi 
quement : 
p (123) = - T x (A23) - T, (-431) - T Z (A12), 
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