348 RECHERCHES SUR L’ÉLIMINATION, ET SUR LA THÉORIE DES COURBES. [53 
et en élevant au carré les deux membres de cette équation, ajoutant le facteur 
UJJJJ3, et réduisant les variables après avoir différentié suivant x, y, z, puis en tenant 
compte des équations 
(123) 2 t/jC/a f/3 = 6V U, 
T 2 A (23) 2 U JJ JT* = 2n {n-1) U.A\ 
T,T,A (23) A (31) U x UJJ % = — (n - l) 2 D 2 U, 
on obtiendra le résultat dont il s’agit. 
Il sera aussi facile de déduire de cette formule quelques propriétés de la courbe 
V U = 0, dans les cas d’un point double ou d’un point de rebroussement de la courbe 
U = 0. En effet, pour un point double, les dérivées L, M, N de U, et par suite D 2 U, 
et ses dérivées du premier ordre, s’évanouissent. De plus, pour un point de rebrousse 
ment on a P 1 = 0. Donc, pour un point double on a V U = 0, où la courbe exprimée 
par cette équation passe par chaque point double (y compris les points de rebrousse 
ment) de la courbe U= 0. Prenons la dérivée de l’équation en question, en affectant 
du symbole d = %d x + yd y + Çd z ses deux membres. Supprimant les termes qui se rédui 
sent à zéro aux points doubles, cela donne 
0 = (eux + ¡3y + y z) 2 9 V U ; 
c’est-à-dire qu’il y aura aussi à chacun de ces points un point double de la courbe 
V U = 0. Passant aux dérivées du second ordre, on aura 
(n — ly 2 9 2 D 2 f7 = n (n — 1) "'PS 2 If — (ax + ¡3y + yz) 2 S 2 V U. 
Or ici 
S 2 D 2 U = a 1 S 2 a + /3 2 S 2 b + y 2 S 2 c + 2/3yS 2 f + 2yaS 2 g + 2or/3S 2 h, 
et S 2 a, &c. se réduisent à 
2 {cdM 2 - 2fdMdN+bdN 2 ), &c. 
savoir (en mettant aÇ + hy + c/Ç, hÇ + by + fÇ, g%+fy + cÇ à la place de S L, d M, 9N, et en 
ayant égard à la condition Vf7=0) à 29 2 f7. &c. ; on aura donc 9 2 Du= 2d 2 U. "P, ou enfin 
(n — 1) (n — 2) 9 2 U. "P = — (ax + /3y + y z) 2 9 2 V U, 
c’est-à-dire: les deux courbes U = 0, Vf7=0, se toucheront dans les points doubles. 
Enfin pour un point de rebroussement 9 2 V U s’évanouit, c’est-à-dire, il existe un point 
triple dans la courbe VU = 0. Mais il peut être démontré que deux branches de la 
courbe se touchent en ce point, et qu’elles touchent aussi la courbe U = 0 ; c’est-à-dire 
qu’il y aura dans la courbe VU =0 un point de rebroussement, et une autre branche 
de la courbe qui passe par ce point. Pour cela il faudra passer aux dérivées du 
troisième ordre. Cela donne, en supprimant les termes qui s’évanouissent : 
(n — l) 2 9 3 D 2 U = 3n (n-1) 9P - . d 2 U — (ax + /3y -I-yz) 2 9 3 VU.