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RECHERCHES SUR L’ÉLIMINATION, ET SUR LA THÉORIE DES COURBES. [53 
ou il faut d’abord effectuer les opérations d L , d M , d N qui se rapportent à JD, et ensuite 
rapporter les d x , d y , d z à la fonction U. Cela donne 
il = 2 [a (Nd y — Md z ) + /3 (Ld z — Nd y ) + 7 (Md x — Ld y )] x 
( « 3 [N (fdy - bd z ) - M(cd y -fd z )) л 
+ /3 2 [L (gd z -cd x )- N (ad z - gd x )\ 
+ 7 2 [M (hd x — аду) - L (bd x - hd y )] 
+ /З7 [- L (hd z + gd y - 2fd x ) + M(ad z - gd x ) + Ж (ad y - kd x )] 
+ 7a [— M(fd x + hd z — 2gdy) + Ж (bd x — hd y ) + L (bd z - fd y )] 
v + a/3 [- Ж (gd y +fd x - 2hd z ) + L (cd y -fd z ) + M (cd x - gd z )] y 
où d x , d y , d z se rapportent seulement à U. Or tous les termes de cette expression 
s évanouissent. Par exemple le coefficient de a 3 devient 
(Жд у - Md z ) [N ( fd y - bd z ) - M {cdy -fd z )} U 
— 1Ж 2 (/<V — bdj)y) + M” (cdyd z -/9 г 2 ) — МЖ {cdy 2 —fd y d z + fd y d z — bd z 2 ) U = 0, 
et ainsi pour les autres termes ; donc on a il = 0. 
Donc, en transportant à l’autre côté de l’équation les termes qui contiennent U, 
BU ou VU, on obtient cette formule très simple : 
(n—l) 2 D 3 U= — {ax + /3y + 7 zf В V U, 
ou la seule condition d’un point d’osculation (en ayant égard à l’équation V U = 0) se 
réduit à DVU— 0. Savoir les dérivées d x VU, d y VU, d z V U doivent être proportionnelles 
à d x U, d y U, d z U (ce qui équivaut à une seule condition, en vertu de U= 0, V U = 0 ; 
comme on le voit facilement). Cela donne le théorème suivant. 
Théorème. “ Dans le cas d’un point d’osculation, les deux courbes U = 0, V U= 0 
se touchent.” 
Il n’y a presque pas de doute que la dérivée VV U ne se réduise toujours à la 
forme jR. U + S. V U. En effet, M. Hesse l’a démontré pour les fonctions de trois 
variables et du troisième degré, et moi, je l’ai vérifié pour les fonctions de deux 
variables d’un degré quelconque. Cela étant, les points d’inflexion de la courbe Vi7=0 
sont situés aux points d’intersection avec Z7=0, et au cas où les deux courbes se 
touchent, ce point de contact doit être considéré comme la réunion de trois points 
d’intersection : donc, 
“Tout point d’osculation peut être envisagé comme point de réunion de trois points 
d,’inflexion.” 
Nous démontrerons encore, d’une manière conforme à celle dont nous avons trouvé 
l’expression de B 2 U, l’expression qui vient d’être donnée pour B 3 U à moyen de la 
formule 
p 2 (123) 2 = {T, {A23) + T 3 (¿31) + T 3 (AU)} 2 .