53] RECHERCHES SUR L’ÉLIMINATION, ET SUR LA THÉORIE DES COURBES. 351 
En multipliant les deux membres par (.¿114) + (A24) + (A34), le terme à gauche peut 
être présenté sous la forme p 2 (A6fy (123) 2 , où d X0 , d ye , d ZQ se rapportent à tous les 
systèmes de variables. En y appliquant le produit U 1 UJJJJ i (les variables identiques 
après les différentiations), on obtiendra 6p 2 (A64i)U 4 V U = — 6 DV U. p 2 . Pour la droite 
de l'équation on a d’abord trois termes comme (¿114) (A2S) 2 UJJJI s U it lesquels se 
détruisent évidemment, à cause de (¿114) UjU^ — 0 ; puis six termes de la forme. 
(J. 14) (A2S) (-431) U-JJJJJJi, qui se détruisent aussi, puisqu’en échangeant 1,3 et 2,4, le 
terme change de signe; puis trois termes comme T{- {(-¡424) + (^L34)} (¿123) 2 UJJJJJJt, 
&c. savoir T-? U L {(AL24) + (¿134)} (A23) 2 U % UJJ± = — 2n(n — 1) U. D'P ; c’est-à-dire tous 
ces termes sont 6w (n — 1) U D'P ; enfin trois termes 2Î 7 1 T , 2 (¿123) (¿131) (J.34) t/j U 2 U 3 U 4 
= 2 (n — l) 2 D 3 U, ou, tous pris ensemble, 6 (n — 1) 2 Z) 3 Î7. Donc, en supprimant le terme 
— Un (n — 1) U ZhP, à cause de U=0, on obtient la même équation que ci-dessus, 
savoir : 
(n — 1) 2 JD 3 U = — (ax + ¡3y + y z) 2 DV U. 
On pourrait croire qu’il y a une équation analogue (n — 1 ) 2 D i U = — (ax + (3y + yz) 2 D' 2 V U 
pour les dérivées du quatrième degré, mais cela n’est pas. En effet, il est facile de voir 
que pour un point d’osculation, D 2 VÎ7 se réduit à WtT, à un facteur près, c’est-à-dire 
l’on aurait D-V U = 0, puisque VV U s’évanouit aux points d’osculation : donc on aurait 
généralement pour un point d’osculation 1717=0; mais cela est seulement le caractère 
des points d’osculation d’un plus haut degré, savoir de ceux où la tangente rencontre la 
courbe en cinq points consécutifs. Pour le quatrième degré le problème devient trop 
compliqué pour être traité de cette manière.