NOTE SUR LES HYPERDETERMINANTS. 
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pourquoi cette courbe du sixième ordre a une osculatrice développable, seulement du 
sixième ordre, mais cette réduction s’opère en partie au moyen des points de rebrousse 
ment de la courbe, qui se trouvent au moyen des équations at + b — 0, bt + c— 0, ct+d = 0, 
dt + e — 0. Pour savoir à combien de points ces équations correspondent, il faut re 
marquer que, a, b, c, d, e étant des fonctions linéaires des coordonnées, on aura toujours 
entre ces quantités une équation linéaire telle que 
Aa + Bb + Ce + Dd + Ee = 0, 
où A, B, ... sont des constantes. Donc, en éliminant a, b, c, d, e, on obtient 
A — Bt + Ct 2 — Dt 3 + Et A = 0, équation du quatrième ordre, et à chaque valeur de t il 
correspond un des points dont il s’agit ; donc la courbe du sixième ordre a quatre 
points de rebroussement. 
Également la surface développable qui correspond à une équation du w ième ordre, est 
de l’ordre 2 (m — 1 ) ; l’arête de rebroussement est de l’ordre 3(to —2), et il y a dans 
cette courbe un nombre 4 (m — 3) de points de rebroussement. Il faut toujours se 
rappeler que ces surfaces développables ne sont pas les surfaces développables les plus 
générales qui existent de l’ordre 2 (m — 1), excepté dans le cas des surfaces développables 
du quatrième ordre. 
IV. Il vaut peut-être la peine de donner en passant une démonstration de ce 
théorème de M. Chasles : “ Le plan qui passe par trois points qui se meuvent avec 
des vitesses uniformes dans trois droites quelconques, enveloppe une surface développable 
du quatrième degré.” En effet, en supposant que a : 8, /3 : 8, y : 8 ; a' : 8', ¡3' : 8', y : 8' ; 
a" : 8", /3" : S", y" : S", soient des fonctions linéaires du temps ((S, 8', 8") peuvent être 
constants, ou, si l’on veut, des fonctions linéaires du temps, ce qui correspond à un 
cas un peu plus général que celui de M. Chasles), on peut prendre ces valeurs pour 
coordonnées des trois points mobiles. Donc, en prenant x : w, y : w, z : w pour coordonnées 
d’un point quelconque du plan, on obtient l’équation de ce plan, en égalant à zéro 
le déterminant formé avec les valeurs x, y, z, w ; a, /3, y, 8 ; a', ¡3', y, 8' ; a", /3", y", 8" ; 
ce qui donne une équation de la forme a + 3èi + Set 2 + dt 3 = 0, a, b, c, d étant des fonc 
tions linéaires de x, y, z, w ; et cela suffit pour démontrer le théorème dont il s’agit. 
Y. En finissant j’indiquerai un principe de classification des courbes à double 
courbure qui me paraît être de quelque importance ; savoir, on pourra distinguer les 
courbes qui ne peuvent pas être l’intersection complète de deux surfaces, de celles qui 
peuvent l’être. Par exemple, en faisant passer par une courbe donnée du troisième ordre 
deux surfaces du second ordre, la courbe n’est pas l’intersection complète des deux 
surfaces ; celles-ci se coupent dans cette courbe et dans une certaine droite. Quel est 
le théorème analogue pour les courbes du ?i iôme ordre ? Peut-on, par exemple, toujours 
combiner avec une courbe donnée d’un ordre quelconque, une autre courbe qui est 
l’intersection complète de deux surfaces, de manière que l’ensemble des deux courbes 
soit une intersection complète de deux surfaces ? Et si non : de quelle manière trouvera- 
t-on les équations générales d’une courbe de n iime ordre ? Quel est le degré de géné 
ralité de ces équations ? Il y a une foule d’autres questions qu’on pourrait ici proposer. 
J’ai proposé une question analogue dans le point de vue analytique, mais elle est 
restée sans réponse. 
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