55] SUR QUELQUES THÉORÈMES DE LA GÉOMÉTRIE DE POSITION. 361 
ou, ce qui est la même chose: 
De même la polaire du point, relative aux droites q = 0, r = 0, ... ,* est 
et par cette raison l’intersection de cette droite avec p = 0 est évidemment située sur 
la droite polaire du point, relative à toutes les droites ; ce qui prouve la proposition 
dont il s’agit. 
Par exemple, en considérant les droites BC, CA, AB qui passent par trois points 
A, B, C : la polaire d’un point 0, relative aux droites AB, AC, est une droite A a telle 
que AB, AC; AO, Aa forment un faisceau harmonique. Soit a le point d’intersection de 
A a et BC, et supposons le même pour les points /3, 7: les points a, /3, 7 seront situés 
(comme on le sait) sur une même droite, qui est celle que je nomme polaire de 0, 
relative aux côtés du triangle, et que M. Plücker a nommé “ harmonicale.” On sait de 
plus que les droites A a, B/3, Cy peuvent être construites comme suit : en prenant 
a, b, c pour les points d’intersection de OA, OB, OC avec BC, CA, AB respectivement, 
les droites bc, BC ; ca, CA; ab, AB se rencontreront dans les points a, /3, 7; ce qui 
offre une règle facile pour construire la polaire d’un point, relative à un nombre quel 
conque de droites. 
Remarquons en finissant que la conique qui passe par les points A, B, C, et qui 
touche deux des trois droites Aol, B/3, C<y, touche aussi la troisième et est effectivement 
la polaire conique du point, relative aux trois côtés du triangle. En combinant cela avec 
la propriété connue que la r ième polaire de 0', relative à la même courbe, passe par 0, si 
la (n — r) xème polaire d’un point 0, relative à une courbe du ?i i<îme ordre, passe par un point 
0', on obtiendra le théorème 22 de M. Steiner (ce Journal, t. iv. [1828] p. 209). 
C. 
46