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DÉMONSTRATION d’üN THÉORÈME, &C. 
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Ce théorème remarquable est dû à M. Boole, qui me l’a communiqué sous une 
forme un peu différente h en me priant d’y suppléer la démonstration et d’en faire 
part aux géomètres ; il ne m’a fallu, pour le prouver, que modifier un peu le procédé 
dont s’est servi M. Boole même, dans son Mémoire : “ On a certain Multiple Definite 
Intégral,” Irish Transactions, t. xxi. [1848]. 
Je vais donc reproduire cette démonstration en l’appliquant au problème dont il 
s’agit. 
On démontre par une analyse semblable à peu près à celle par laquelle se démontre 
le théorème de Fourier, que l’expression 
irY(\n + cf) 
/•q r* 00 /»00 
da dv I dwe^ (a ~ p> v-Qw+iiin+g)*] ¿ # . .yft n+q ~ 1 fa. 
J 0 J 0 J 0 
(6), 
fp 
se réduit (en n’y faisant attention qu’à la partie réelle) à ou à zéro, selon que 
W? n 'i 
la quantité P se trouve ou ne se trouve pas comprise entre les limites 0, 1. Donc, 
en substituant cette intégrale triple dans l’expression de V, on peut étendre depuis 
— oo jusqu’à oo les intégrations par rapport aux variables x, y,...; de cette manière, 
et en réduisant par l’équation (1), on obtient tout de suite 
rjj-in-l e lqni ri r 00 r°° g[av—G(V,W)]i w %n+q—l 
Y — ri/i \ da dv dw * fa (7). 
Y(^n-\-q)J 0 J o J o VIf (v, w) 
Donc, en écrivant 
v 7 vds 
w = - , dw = — 
s s 2 
{ce qui donne, par les équations (3), 
G (v, w) = va, H (v, w) = v n s~ n (f>}, 
les limites par rapport à la nouvelle variable s seront oo, 0, et l’on obtiendra, en 
changeant l’ordre des intégrations, 
>•> 
r (i« + î)i, Vÿ 
dans laquelle expression 
S = ^ e iqni J da J dv v q e {a ~ v)vi fa (9) ; 
1 M. Boole écrit 
expression à la vérité plus simple, mais qui donne lieu, ce me semble, à quelques difficultés. 
c. 49