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DÉMONSTRATION D’UN THÉORÈME DE 
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et il ne s’agit plus que de faire voir l’identité de cette valeur avec celle qui est 
donnée par l’équation (5). Pour cela, je remarque que l’on aura 
ou 
dv v q e la ~ a) vi — T (q 4-1) e i(9+1,7ri (a — o-) -5-1 , 
= T (q + 1) e ~^ q+1)ni (a - cc)- q -\ 
(10), 
selon que (a — <r) est positif ou négatif ; les valeurs correspondantes de - e* qni 
7T 
sont 
dv v q e ia_ tr) 
- e (q+h)*i T(g+ l)(a-o-)-5- 1 et - e~ i,ri T (q + 1) (a-- ayi- 1 
7T 7T 
(il); 
or, en ne faisant attention qu’aux parties réelles, et en réduisant par une propriété 
connue des fonctions T, ces valeurs se réduisent à ^—- (a — a) - ? -1 et zéro respective- 
ment ; d’après cela, l’équation (9) se réduit à 
1 
S = 
r<-ï) 
(a — a)- q ~ l fa da (12), 
et enfin, en écrivant 
r(- q)J cr 
a = a + t (1 — a), da. = (1 — a) dt, 
on obtient pour S la valeur donnée par l’équation (5), de manière que la formule dont 
il s’agit se trouve complètement démontrée. 
Il paraît difficile de trouver les formes générales de P, Q (rien n’étant, je crois, 
connu sur la solution des équations telles que l’équation (1)} ; mais des formes parti 
culières se présentent assez facilement. Ainsi, en ne considérant que les exemples que 
m’a donnés M. Boole (lesquels j’ai depuis vérifiés), soit 
P = 2 (Ix + my + ...)> Q = n 2 + P + 2/ 2 + (13). 
En substituant ces valeurs dans l’équation (1), les intégrations s’effectuent sans difficulté 
et sous la forme nécessaire, et l’on obtient 
n / \ o (^" H - -(-...) v 2 TT . 
Lr (v, w) = wv — — , H (v, w) = w n , 
ou enfin 
& = j—(l 2 +m 2 + ...) s, <f> = 1 (U). 
Soit encore (ce qui comprend, comme cas particulier, le problème des attractions) 
+ + ••• » Q= v 2 + (a-x) 2 + (b -y) 2 + (15);