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NOUVELLES RECHERCHES SUR LES FONCTIONS DE M. STURM. 
[From the Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (Liouville), tom. xm. (1848), 
pp. 269—274.] 
En développant une remarque faite par M. Sylvester dans un Mémoire publié il y 
a huit ou neuf ans dans le Philosophical Magazine, j’ai trouvé des expressions assez 
simples des fonctions de M. Sturm, composées au moyen des coefficients mêmes ; ce qui 
convient mieux que d’exprimer ces fonctions, comme je l’ai déjà fait dans le t. xi. de 
ce Journal, p. 297, [48], par les sommes des puissances. D’ailleurs il ne m’est plus néces 
saire de parler des expressions de M. Sylvester, ou même des divisions successives de 
M. Sturm ; mais ma méthode fait voir directement que les fonctions que je vais définir 
sont douées de la propriété fondamentale sur laquelle se repose la théorie de M. Sturm, 
à savoir que, en considérant trois fonctions successives, la première et la dernière fonc 
tion sont de signe contraire pour toute valeur de la variable qui fait évanouir la fonc 
tion intermédiaire ; cependant je n’ai pas encore réussi à démontrer dans toute sa 
généralité l’équation identique d’où dépend cette propriété. 
Soient d’abord V, V des fonctions du même degré n, 
et écrivons 
V = ax n + bx n ~ x + ..., 
V = a'x n + b'x 71 - 1 + ..., 
-F,= 
V, V' 
a a' 
xV, V, xV, V' 
a . a! . 
b 
a b' a' 
b c' b' 
c