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NOUVELLES RECHERCHES SUR LES FONCTIONS DE M. STURM. 
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-F. a = 
x 2 V, xV, V, x 2 V', xV\ V' 
a 
b' 
d 
d' 
d 
a 
b' 
d 
d' 
, & c. 
(ce qui suffit pour faire voir la loi de ces fonctions successives F l} P 2 , ...). Il résulte 
des propriétés élémentaires des déterminants que ces fonctions sont des ordres n — 1, 
n — 2, n — 3, &c., respectivement, par rapport à la variable x. En effet, dans F y le co- 
, savoir, à zéro; de même, dans F 2 , les coefficients 
efficient de x n se réduit à 
a, a 
a a' 
de x n et P 1-1 se réduisent chacun à zéro ; et ainsi de suite. 
Soient encore 
P l = j a, a' 
I b b' 
P 9 = 
P 
a, 
b 
c 
d 
a, 
b 
c 
d 
e 
f 
a, . 
a b' a' 
b c' b' 
c d' c' 
iY = 
p: = 
a, a 
c c' 
a, . 
F a! . 
c' b’ a' 
d' d b' 
d d! d 
d f 
d' 
&c., 
p: = 
a, 
b 
G 
e 
a, 
b 
c 
d 
e 
a, . 
a b' a' 
b d b' 
d d d’ 
9 f 
a, . 
. b' a' . 
a d b' a! 
b d' d b' 
c d d' d 
e 9' f e' 
&c. 
(ce qui suffit pour indiquer la loi). On aura entre ces différentes fonctions F, P, P' 
cette suite remarquable d’équations identiques, 
Pi 2 F 3 + (*PiP 2 + P 1 P 2 ' + P/P 2 ) F 2 + P 2 F l = 0, 
Pi P 4 + (xP 2 P 3 + P 2 P 3 ' + Pi Pi) F 3 + Pi F 2 = 0, 
&c., 
lesquelles équations, dans ce Mémoire, seront prises pour vraies. Cela étant, il est 
évident que F y et F 3 seront de signe contraire pour toute valeur de x qui fait évanouir 
P 2 ; F 2 et P 4 seront de signe contraire pour toute valeur de x qui fait évanouir F 3 ; et 
ainsi de suite. 
C. 50