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NOUVELLES RECHERCHES SUR LES FONCTIONS DE M. STURM. 
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Ces formules renferment le cas où les deux fonctions V, V' ne sont pas du même 
degré (en effet, pour les y adapter, on n’a besoin que de faire évanouir quelques-uns 
des premiers coefficients de V ou de V'). Il est donc permis de supposer que V' soit 
la dérivée de V. Dans ce cas, F 1 = a V', et on verra dans un moment que les fonctions 
F.!, F 3 , ... contiennent chacune le facteur a 2 , de manière qu’il convient d’écrire F. 2 = ci 2 V 2 , 
F 3 = a?V 3 , .... Ce facteur a 2 peut être évidemment écarté, et ce sera de même avec le 
facteur a de F, pourvu, ce que je supposerai dans la suite, que a soit positif. On aura 
de cette manière les fonctions V, V', V 2) V 3 , ... douées des propriétés des fonctions de 
M. Sturm. En effet, elles seront précisément les fonctions fx, f x x, f^x, ... du Mémoire 
déjà cité, ce qui cependant pourrait être difficile à démontrer à priori. 
On déduit tout de suite des expressions de F 2 , F 3) 
aV, = - 
V, 
xV\ 
V 
, aV 3 = 
xV, 
y, 
x 2 V', 
xV, V' 
a 
na 
a 
na 
b 
n — 16 
na 
b 
c 
d 
a 
b 
c 
n — 1b 
n — 2c 
n — 3 d 
na 
n—lb na 
n — 2 c « — 16 
, &c. 
Ces formules se simplifient au moyen des propriétés connues des déterminants, et en 
écrivant 
xV' — nV =. - U, 
cela donne 
ciVn = 
V, 
a 
b 
U, 
F.,= - 
V 
aV 3 = 
xV, 
V, 
xU, 
U, 
V 
, &c. 
a 
na 
b 
a 
b 
c 
b 
2c 
b 
na 
d 
G 
3d 
3c 
n — lb 
t un 
autre terme de la suite, afin de mieux 
faire 
U, 
V , v 3 = - 
y, 
xU, 
U, 
V 
? 
b 
na 
a 
b 
b 
2c 
b 
na 
c 
3d 
2c 
n — lb 
r 4 =- 
xV, V, 
x 2 U, 
xU, 
V 
, &c., 
a 
b 
b a 
2c 
b 
c b 
3d 
2c 
na 
d c 
4e 
3d 
n 
-16 
e d 
5/ 
4e 
n 
^2c