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69. 
SUR LES DETERMINANTS GAUCHES. 
[From the Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle), tom. xxxviii. (1848), 
pp. 93—96 : continuée! from t. xxxii. p. 123, 52.] 
J’ai nommé “ Déterminant gauche ” un déterminant formé par un système de 
quantités \ r s , qui satisfont aux conditions 
U. r — M.sU J 1 (1)> 
(où les valeurs de r, s s’étendent depuis l’unité jusqu’à n). 
Or ces déterminants peuvent facilement être exprimés par un système de déter 
minants pareils, dont les termes satisfont à ces conditions même dans le cas où les 
valeurs de r et s deviennent égales, ou pour lesquels on a 
A - .« = M.r (j ^ s) ? r = 0 (2), 
ces déterminants peuvent être nommés “gauches et symétriques.” 
En effet, soit f2 le déterminant gauche dont il s’agit, cette fonction peut être 
présentée sous la forme 
il = H 0 H - OjXj i -J- \f2 2 A.2. - 2 • • • 4^12^1.1^2.2 (3), 
où fl 0 est ce que devient il si X 1-1} X2.2, &c. sont réduits à zéro ; D 1 est ce que devient 
le coefficient de \^ sous la même condition, et ainsi de suite; c’est-à-dire: iî 0 est 
le déterminant formé par les quantités \ r s en supposant que ces quantités satisfassent 
aux conditions (2), et en donnant à r les valeurs 1, 2, 3est le déterminant 
formé pareillement en donnant à r, s les valeurs 2, 3, ... n ; iî 2 s’obtient en donnant 
à r, s les valeurs 1, 3, ...n, et ainsi de suite; cela est aisé de voir si l’on range les 
quantités \ r s en forme de carré.