416 
SUR QUELQUES THÉORÈMES DE LA GÉOMÉTRIE DE POSITION. 
[70 
alors tous les réciproques des points situés sur cette surface seront des plans tangents 
d’une autre surface du second ordre. Ces deux surfaces pourront être identiques ; ce 
qui implique aussi l’identité des deux plans réciproques. Ce cas particulier constitue 
en effet la théorie connue des Polaires réciproques. 
Je me propose ici d’examiner la théorie du cas général, où les deux surfaces ne 
sont point identiques. On pourra démontrer que dans ce cas les deux surfaces ont 
nécessairement en commun quatre droites : ces droites se rencontrent de manière à 
former un quadrilatère gauche que je représenterai par A PC P. Il est évident que les 
deux surfaces se touchent aux points A, B, C, I). En effet, le plan DA B est le plan 
tangent de l’une et de l’autre de ces surfaces au point A ; et de même ABC, BCD 
et CDA sont respectivement les plans tangents aux points B, C et D. Les deux 
réciproques du point A se réduisent à ce même plan DAB, et il en est également 
pour les points B, C, D: il suit de là que les droites A C et BD sont réciproques l’une 
à l’autre, tandis que les droites AB, BC, CD, DA sont respectivement réciproques 
chacune à elle-même. 
Les réciproques d’un point quelconque passent par la droite qui est l’intersection 
du plan polaire du point par rapport à la première surface, et de la réciproque gauche 
du point déterminé d’une manière qui sera expliquée tout à l’heure. Donc les récipro 
ques d’un point quelconque de la première surface passent par la droite qui est 
l’intersection du plan tangent de la première surface au point dont il s’agit, et de la 
réciproque gauche du même point ; de manière que si cette droite d’intersection était 
connue, les réciproques d’un point de la première surface seraient les plans tangents 
de la seconde surface menés par cette droite d’intersection ; ou, pour trouver les 
réciproques d’un point de la première surface, on n’a qu’à chercher la réciproque gauche 
dont je viens de parler. 
Dans ce système de réciproques gauches, les réciproques gauches des points A, B, C, D 
sont (comme dans le système des réciproques que nous considérons) les plans DAB, 
ABC, BCD et CAD, et de là les droites AC et DB sont réciproques gauches l’une 
à l’autre, tandis que les droites AB, BC, CD, DA sont réciproques gauches chacune à 
elle-même. Mais cela ne suffit pas pour déterminer le système des réciproques gauches. 
En effet, le système des réciproques que nous considérons n’est pas complètement 
déterminé au moyen des deux surfaces ; il contient encore une quantité arbitraire (on 
peut facilement se satisfaire de cela). Or remarquons que la réciproque gauche d’un plan 
quelconque, passant par la droite AB (ou par l’une quelconque des droites AB, BC, 
CD, DA), est située dans cette même droite. Considérons un plan donné quelconque 
p AB passant par cette droite A B ; la réciproque gauche de ce plan sera un point P 
de la droite AB, dont la position pourra être prise à volonté. Au moyen de ce plan 
p AB et de sa réciproque gauche P, sur la droite AB, on pourra facilement construire 
le système complète des réciproques gauches. Car soit q un point quelconque, et 
représentons par Q la réciproque gauche du plan qAB (Q sera aussi un point de la 
droite AB) ; considérons les quatre plans DAB, CAB, pAB, qAB qui se rencontrent 
selon la droite AB, et qui ont respectivement pour réciproques gauches les points 
A, B, P, Q (situés sur cette même droite AB) : le rapport anharmonique des quatre