SUR QUELQUES THEOREMES DE LA GEOMETRIE DE POSITION. 
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plans sera égal au rapport anharmonique des quatre points ; ce qui suffit pour déterminer 
le point Q, puisque les quatres plans et les trois autres points sont donnés, et la 
construction graphique pour déterminer ce point Q est parfaitement connue. Il est 
d’ailleurs évident que la droite menée par un point donné, de sorte qu’elle rencontre 
des droites réciproques gauches l’une à l’autre, est située dans la réciproque gauche 
de ce point. Donc, en menant par le point q la droite qui rencontre les deux droites 
AC et BD, le plan passant par cette droite et par le point Q, est la réciproque gauche 
du point q qu’il s’agissait de trouver 1 . Egalement, on pourrait construire la réciproque 
gauche d’un plan donné. 
Donc enfin, pour trouver les réciproques d’un point de la première surface : 
(A) “ Construisez le plan tangent à ce point de la première surface, et construisez 
de la manière expliquée ci-dessus, la réciproque gauche du point. Par la droite d’inter 
section de ces deux plans menez deux plans tangents à la seconde surface : ces deux 
plans seront les réciproques qu’il s’agissait de trouver.” 
On pourra construire d’une manière analogue les réciproques d’un plan tangent de 
la première surface. En effet : 
(B) “ En construisant les réciproques du point de contact avec la première surface 
du plan dont il s’agit, les points de contact avec la seconde surface, de ces deux 
plans, seront les réciproques dont il s’agissait.” 
Egalement, pour trouver les réciproques d’un plan tangent donné de la seconde 
surface : 
(C) “ Construisez le point de contact de ce plan avec la seconde surface, et con 
struisez la réciproque gauche de ce même plan : la droite menée par ces deux points 
rencontrera la première surface dans deux points qui seront les réciproques que l’on désirait.” 
Et pour trouver les réciproques d’un point de la seconde surface : 
(D) “ Construisez les réciproques du plan tangent passant par le point donné de 
la seconde surface : les plans tangents à la première surface passant par ces deux points, 
seront les réciproques qu’il s’agissait de trouver.” 
En effet les théorèmes (C, D) ne sont que des transformations des théorèmes 
(A, B) au moyen de la théorie des polaires réciproques. 
Enfin, pour trouver les réciproques d’un point quelconque, menez par ce point trois 
plans tangents ou à la première ou à la seconde surface, et construisez les réciproques 
de ces plans au moyen du théorème (B ou C) : les deux plans menés par ces points 
réciproques, pris trois et trois ensemble, et combinés de manière que l’intersection des 
deux plans coïncide avec l’intersection de la polaire par rapport à la première surface 
et de la réciproque gauche du point donné, selon la remarque ci-dessus, seront les 
réciproques cherchées ; et de la même manière pour les réciproques d’un plan quelconque. 
1 II y a un cas très simple qui mérite d’être considéré ; savoir celui où le point P coïncide avec A. 
Dans ce cas Q coïncide aussi avec A, et la réciproque gauche de q se réduit au plan qAC. De même, si 
les points P, B coïncident, la réciproque gauche de q se réduit au plan qBD. 
C. 
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