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SUR QUELQUES THÉORÈMES DE LA GEOMETRIE DE POSITION. 
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Je n’essaierai pas d’énumérer ici le grand nombre de relations descriptives qui 
pourraient être tirées des constructions qu’on vient d’expliquer. L’on remarquera sans 
peine l’analogie parfaite qui existe pour toute cette théorie et la théorie correspondante 
de la géométrie à deux dimensions, telle que M. Plücker l’a exposée, “ System der 
analytischen Geometrie,” [4°, Berlin, 1835], pp. 78—83. On pourra aussi consulter sur ce 
point un mémoire [61] que je viens de composer pour le Cambridge and Dublin Mathe 
matical Journal, et qui paraîtra prochainement. 
La vérification analytique de ces théorèmes donne lieu à des développements assez 
intéressants. Pour obtenir l’équation de la première des surfaces du second ordre, il 
suffit d’écrire £, g, p, m au lieu de x, y, z, w, dans l’équation de l’un ou de l’autre des 
plans réciproques. En supposant que x = 0, y = 0, z = 0, w — 0 soient des plans conjugués 
par rapport à la surface, et en remarquant que chacune de ces coordonnées peut être 
censée contenir un facteur constant, l’équation de la première surface peut être écrite 
sous la forme 
x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 0. 
On aura alors pour a, b, c, d ; a', b', c', d'; a", b", c", d"; a"', b'", c", d"' un système 
de la forme l, —h, g, — a; h, l, —f —6; — g, f l, — c; a, b, c, l, et les équations des 
plans réciproques deviendront 
(%x + yy + pz + mw) ± 
' x{ . — hg + g p — am) j = 0 ; 
+ y ( hÇ • ~fp - M ! 
+ z(-g%+fv ■ - cw) 
[ + w { a£ + bg + cp . ), 
ce qui prouve le théorème énoncé ci-dessus ; savoir que les deux réciproques passent 
par la droite d’intersection de la polaire et de la réciproque gauche du point. On 
obtient sans difficulté, pour l’équation de la seconde surface : 
(x — hy + gz — aw) 3 + (hx + y -fz — bw) 2 + (—gx+fy + z — cw) 2 + (ax + by + cz + w) 2 = 0, 
ou sous une autre forme plus commode : 
(x 2 + y 1 + z 1 + w 2 ) 
+ (. — hy + gz — aw) 2 + {hx .—fz — bw) 2 + (— gx +fy. — cio) 2 + {ax + by + cz .) 2 = Q. 
Les coordonnées des points A, B, C, D seront déterminées au moyen des expressions 
. — hy + gz — aw _ hx. — fz — bw _ — gx +fy . — cw _ax + by + cz. 
x y z w 
ou, en introduisant la quantité indéterminée s: 
sx — hy + gz — aw = 0, 
hx +sy — fz — bw = 0, 
— gx +fy + sz — cw — 0, 
ax + by +cz + sic = 0.