f : V : Ç= a : Z 3 : 7
472 SUR QUELQUES TRANSMUTATIONS DES LIGNES COURBES. [80
Cela posé, en considérant les nouvelles coordonnées £, 77, £", on voit tout de suite
qu’un système d’équations telles que
V ' Ç= a ■ /3 : y
correspond à un point ; qu’une équation linéaire quelconque
AÇ + B v + CÇ=0
correspond à une conique qui touche les trois côtés du triangle PQR (ou, si l’on veut,
inscrite à ce triangle) ; et qu’une équation quelconque du second ordre
a£ 2 + brf + c£ 2 + 2/Ç7 + 2 \g%Ç + 2hg% = 0
correspond à une courbe du quatrième ordre qui touche les trois côtés du triangle PQR,
chaque côté deux fois. Et réciproquement, de telles coniques et de telles courbes du
quatrième ordre peuvent toujours se représenter par une équation linéaire ou par une
équation du second ordre entre les coordonnées f, 77, Ç.
On déduit de là cette propriété générale :
“ Tout théorème descriptif qui se rapporte à des points, à des droites, et à des
coniques, conduit à un théorème qui se rapporte d’une manière analogue à des points,
à des coniques qui touchent chacune trois droites fixes, et à des courbes du quatrième
ordre qui touchent chacune ces trois droites fixes, deux fois chaque droite.”
En supposant que les coefficients g, h se réduisent à zéro, l’équation
af 2 + brf + cÇ 2 + 2frjÇ = 0
est celle d’une conique tangente aux deux droites PQ, PR, et la courbe du quatrième
ordre se réduit à deux coniques égales et superposées l’une à l’autre. De là:
“ Tout théorème descriptif qui se rapporte à des points, à des droites, et à une
conique, conduit à un théorème qui se rapporte d’une manière analogue à des points, à
des coniques qui touchent chacune trois droites fixes, et à une conique qui touche deux
de ces droites fixes.”
En particulier, en supposant que les deux droites fixes que la conique touche
soient les deux droites tangentes à cette conique qui passent par un des foyers, et
que la troisième droite fixe soit à l’infini :
“ Tout théorème descriptif qui se rapporte à des points, à des droites, et à une
conique, conduit à un théorème qui se rapporte d’une manière analogue à des points,
à des paraboles qui ont pour foyer commun un point fixe, et à une conique qui a
aussi ce point fixe pour un de ses foyers.”
II. Soit à présent
£ = P, V = y\ £ = ¿ 2 .
Un système d’équations telles que
