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SUR QUELQUES TRANSMUTATIONS DES LIGNES COURBES. 
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correspond à quatre points qui formeront ce que l’on peut nommer un système symétrique 
■par rapport aux points P, Q, R, ou tout simplement un système symétrique. On voit 
sans peine que les quatre points d’un même système symétrique sont tels, que le 
quadrilatère formé par ces quatre points a pour points de concours des diagonales et 
des côtés opposés les points P, Q, R. Pour ne pas interrompre la suite des raisonne 
ments, il convient d’entrer dans quelques détails relatifs à ce sujet. Nous nommerons 
courbe symétrique par rapport aux points P, Q, R, ou simplement courbe symétrique, 
toute courbe lieu d’un système symétrique. Cela posé, il y a une infinité de coniques 
symétriques ; savoir, toute conique par rapport à laquelle les points P, Q, R sont des 
points conjugués (cela veut dire par rapport à laquelle l’un quelconque de ces points 
a pour polaire la droite menée par les deux autres) est une conique symétrique. 
Remarquons qu’une courbe symétrique du quatrième ordre peut se réduire à un système 
de deux coniques telles, que les points de chaque système symétrique de la courbe 
soient partagés deux à deux sur les deux coniques. En effet, considérons une conique 
telle, que, par rapport à cette conique, le point P ait pour polaire la droite QR. 
Il est facile de construire une autre conique telle, que l’ensemble des deux coniques 
soit une courbe symétrique. Pour cela, menons une transversale quelconque PMN qui 
rencontre la conique donnée aux points M, R : soient M', N' les points de rencontre 
des droites QM, NR et des droites QN, MR; le lieu des deux points M', N' (lesquels 
seront en ligne droite avec le point P) sera la conique dont il s’agit. Nous dirons 
que les deux coniques sont des coniques supplémentaires. 
En revenant à notre but actuel, une équation linéaire quelconque 
A £ + Br] + CÇ = 0 
correspond à une conique symétrique. Une équation du second ordre quelconque 
af 2 + br] 2 + c£ 2 + 2fr)Ç + 2 gÇÇ + 2 h%r) = 0 
correspond à une courbe symétrique du quatrième ordre. Et réciproquement, toute 
conique symétrique, ou toute courbe symétrique du quatrième ordre, peut se représenter 
par une équation linéaire, ou du second ordre, avec les coordonnées £, rj, Ç. De là cette 
propriété générale : 
“ Tout théorème descriptif qui se rapporte à des points, à des droites, et à des 
coniques, conduit à un théorème qui se rapporte d’une manière analogue à des systèmes 
symétriques (par rapport à trois points fixes), à des coniques symétriques, et à des 
courbes symétriques du quatrième ordre.” 
Dans ce théorème on peut, si l’on veut, considérer l’un des points d’un système 
symétrique comme représentant le système, et substituer aux mots systèmes symétriques 
(par rapport à trois points fixes), le mot points. 
En supposant que dans la courbe du quatrième ordre on ait à la fois 
ac — g- = 0, ab — h 2 = 0, 
il est facile de voir que la courbe du quatrième ordre se réduit à deux coniques 
supplémentaires. 
C. 
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