474 SUE, QUELQUES TRANSMUTATIONS DES LIGNES COURBES. [80 
En effet, ces conditions étant remplies, en rétablissant les valeurs de £, 77, £, on 
obtient une équation qui se divise en deux équations, telles que 
ctx 2 + (3y 2 -f yz 2 — Syz = 0, cm? 4- ¡3y 2 + 7z 2 + Syz = 0, 
qui appartiennent, comme on le voit sans peine, à une paire de coniques supplémen 
taires. 
De là, en remarquant qu’il est permis de faire abstraction de l’une de ces coniques : 
“Tout théorème qui se rapporte à des points, à des droites, et à une conique, 
conduit à un théorème qui se rapporte d’une manière analogue à des points, à des 
coniques symétriques (par rapport à trois points fixes), et à une conique telle, que, 
par rapport à cette conique, l’un des trois points fixes a pour polaire la droite menée 
par les deux autres points fixes.” 
Supposons en particulier que les deux points fixes dont nous venons de parler 
soient les points où la droite à l’infini est rencontrée par un cercle qui a pour centre 
le troisième point fixe ; ce troisième point fixe sera le centre tant des coniques symé 
triques par rapport à ces trois points fixes, que de la conique par rapport à laquelle 
le troisième point fixe a pour polaire la droite menée par les deux autres points 
fixes. De plus, les asymptotes de l’une quelconque des coniques symétriques formeront 
avec les droites imaginaires asymptotes du cercle un faisceau harmonique, et de là les 
asymptotes de la conique dont il s’agit seront à angle droit, ou, autrement dit, cette 
conique sera une hyperbole équilatère. De là enfin : 
“ Tout théorème descriptif qui se rapporte à des points, à des droites, et à une 
conique, conduit à un théorème qui se rapporte d’une manière analogue à des points, 
à des hyperboles équilatères et concentriques, et à une conique concentrique avec les 
hyperboles.” 
III. Soit enfin 
Cette supposition conduit à l’une des méthodes de transmutation données par M. Steiner 
parmi les observations générales qui forment la conclusion de son ouvrage intitulé : 
Systematische Entwickelung &c., [Berlin, 1832], méthode qu’obtient M. Steiner au moyen 
de la théorie de l’hyperboloïde gauche. Je la reproduis ici tant pour en faire voir la 
théorie analytique qu’à cause de son analogie avec les méthodes I. et II. 
Il est évident d’abord qu’un système d’équations telles que 
f : V : £=a : Æ : 7 
correspond à un point ; de même, une équation linéaire quelconque, telle que 
AÇ + B v + CÇ=0, 
correspond à une conique qui passe par les trois points P, Q, R, et une équation 
quelconque du second ordre, telle que 
af + br? + c? + 2/77^+ 2gg + Zhtft = 0,