80] SUR QUELQUES TRANSMUTATIONS DES LIGNES COURBES. 475 
correspond à une courbe du quatrième ordre qui a les trois points P, Q, P pour 
points doubles. Réciproquement, de telles coniques et de telles courbes du quatrième 
ordre peuvent toujours se représenter par des équations linéaires et par des équations 
du second ordre. De là : 
“Tout théorème descriptif qui se rapporte à des points, à des droites, et à des 
coniques, conduit à un théorème qui se rapporte d’une manière analogue à des points, 
à des coniques qui passent par trois points fixes, et à des courbes du quatrième ordre 
qui ont ces trois points fixes pour points doubles.” 
En supposant que l’on ait à la fois a = 0, 6 = 0, la courbe du quatrième ordre se 
réduit à une conique qui passe par les deux points Q, R (ou, si l’on veut, au système 
formé de cette conique et des droites PQ, PR). De là : 
“ Tout théorème descriptif qui se rapporte à des points, à des droites, et à une 
conique, conduit à un théorème qui se rapporte d’une manière analogue à des points, 
à des coniques qui passent par trois points fixes, et à une conique qui passe par 
deux de ces points fixes.” 
On ne peut pas particulariser ce théorème de manière à obtenir des théorèmes 
intéressants. Mais, en prenant les polaires réciproques des deux théorèmes qui viennent 
d’être obtenus, on a ces propriétés nouvelles : 
“ Tout théorème descriptif qui se rapporte à des droites, à des points, et à des 
coniques, conduit à un théorème qui se rapporte d’une manière analogue à des droites, 
à des coniques qui touchent chacune trois droites fixes, et à des courbes de la 
quatrième classe qui touchent chacune ces mêmes droites fixes, deux fois chaque droite 
et : 
“ Tout théorème qui se rapporte à des droites, à des points, et à une conique, 
conduit à un théorème qui se rapporte d’une manière analogue à des droites, à des 
coniques qui touchent chacune trois droites fixes, et à une conique qui touche deux 
de ces droites fixes.” 
De là, comme dans la méthode I. : 
“ Tout théorème qui se rapporte à des droites, à des points, et à une conique, 
conduit à un théorème qui se rapporte d’une manière analogue à des droites, à des 
paraboles qui ont pour foyer commun un point fixe, et à une conique qui a ce même 
point fixe pour un de ses foyers;” 
théorème que l’on doit comparer avec le troisième théorème que donne la méthode I. 
Pour compléter cette théorie, nous aurions dû ajouter les deux théorèmes polaires 
réciproques du premier et du deuxième théorème que donne la méthode I. ; mais cela 
se fait sans la moindre peine. Quant au premier et au deuxième théorème que donne 
la méthode II., les polaires réciproques de ces deux théorèmes ne conduisent à rien 
de nouveau.