81] ADDITION AD MÉMOIRE SUR QUELQUES TRANSMUTATIONS &C. 477 
l’équation de la courbe prend cette forme très simple 
\4r + Vy + V^ + Vw = 0, 
en se souvenant toujours que les quantités x, y, z, w satisfont à l’équation linéaire qui 
vient d’être donnée. Je représenterai dans la suite cette équation linéaire par 
ax + /3y + y z 4- 8w = 0. 
Il est évident que la droite w = 0, de même que les droites QR, RP, PQ, est 
tangente double de la courbe. De plus, ces quatre droites sont le système complet 
des tangentes doubles, car la courbe a, comme nous allons le voir, trois points doubles : 
en effet, la forme rationnelle de l’équation est 
(x 1 + y 2 + z 2 + w 2 — 2yz — 2zx — 2 xy — 2 xw — 2 yw — 2 zw) 2 — Q^xyzw = 0, 
et, au moyen de l’identité 
{x + y)- {z + w) 2 — 16xyzw = (x — y) 2 (z + w) 2 + {x + y) 2 (z — w) 2 — (x — y) 2 {z — w) 2 , 
cette équation rationnelle se transforme en 
[(x — y) 2 — (z — w) 2 f — 4 (oc + y — z — w)\(x + y) {z — w) 2 — (z + w) (x — y) 2 ] = 0, 
laquelle fait voir que le point (x = y, z = w) est un point double ; de là aussi les 
points (x = z, w— y), (x = w, y = z) sont des points doubles. Démarquons en passant 
qu’en supposant que les coefficients a, /3, y, 8 restent indéterminés, les droites x = y, 
x = z, x — w seront des droites quelconques par les points (x = 0, y — 0), (x = 0, z = 0), 
(x = 0, w = 0) respectivement, et ces droites une fois connues, les droites y = z, z — w, 
w = y seront déterminées, la première au moyen des points (y = 0, z — 0), {y — x, z = x), 
la deuxième au moyen des points (z= 0, w = 0), {z — x, w = x), et la troisième au moyen 
des points {w = 0, y = 0), (w = x, y — x)\ et les trois droites ainsi déterminées se couperont 
nécessairement dans un même point. Cela revient au théorème suivant : 
“ Les trois points doubles d’une courbe du quatrième ordre avec trois points doubles 
sont les centres d’un quadrangle dont les côtés passent par les angles du quadrilatère 
formé par les tangentes doubles de la courbe.” 
Cette propriété des courbes du quatrième ordre dont il s’agit (je veux dire celle 
d’avoir trois points doubles) aurait dû faire partie du théorème général donné aupara 
vant pour cette première méthode de transmutation. 
En supposant que la conique à transmuter passe par le point P, on aura 
a + 8 = 0, 
et il suit de là que le point double (x = w, y = w), identique dans ce cas avec le 
point P, se change en point de rebroussement, et en même temps que les droites PQ, 
PR ne sont plus des tangentes doubles proprement dites, mais se réduisent à des