TRANSMUTATIONS DES LIGNES COURBES. 
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celle des cercles de se transmuter en des ovales de Descartes (seulement M. Chasles 
paraît ne pas avoir remarqué que ces ovales étaient nécessairement des limaçons), et 
c’est la lecture de cette Note qui m’a appris cette théorie de la transmutation des cercles. 
En supposant que la conique à transmuter passe par les trois points P, Q, B, 
nous aurons 
a + S = 0, /3 + S = 0, 7 + S= 0; 
les points doubles, identiques (dans ce cas) avec les points P, Q, B, deviennent des 
points de rebroussement, et les droites QB, BP, PQ, au lieu d’être des tangentes 
doubles, sont tout simplement les droites qui passent chacune par deux points de 
rebroussement. Ajoutons que les tangentes de la courbe, aux trois points de rebrousse 
ment respectivement, sont les droites x — w — 0, y — w = 0, z — w — 0. 
Il y a encore un cas particulier à considérer, savoir celui où la conique à 
transmuter est telle que, par rapport à cette conique, les points Q et B sont situés 
chacun dans la polaire de l’autre ; on a alors f=0, cas qui échappe à l’analyse ci-devant 
employée. On voit sans peine que les deux points doubles (y =w, x = z), (z = w, y = z) 
deviennent ici identiques, ce qui donne lieu à un point d’osculation. La droite QB 
et la droite w — 0 ne sont plus des tangentes doubles proprement dites, mais ces 
droites deviennent l’une et l’autre identiques avec la tangente au point d’osculation. 
Note sur les ovales de Descartes. 
De lequation de ces ovales, 
V(¿c — a) 2 + y 2 — m V x 2 4- y 1 + n, 
on tire d’abord 
(1 — m 2 ) (x 2 + y 2 ) — 2ax + a 2 — n 2 = 2mn V& 2 + y 2 , 
puis 
(1 — m 2 ) 2 (x 2 + y 2 ) 2 — 4a (1 — m 2 ) x (x 2 + y 2 ) 
+ 2 [a 2 (1 — m 2 ) — n 2 (1 + w 2 )] (x 2 + y 2 ) + 4a 2 x 2 — 4a (a 2 — n 2 )x + (a 2 — n 2 ) 2 — 0. 
Pour trouver la nature de la courbe à l’infini, mettons x + yi = x — yi = y, i = V — 1, 
et introduisons la quantité £ de manière à rendre l’équation homogène. Cela donne 
(1 - m 2 ) 2 fV - 2a (1 - m 2 ) (f + y) ÇyÇ 
+ 2 [a 2 (1 — w 2 ) — n 2 (1 + m 2 )] %yÇ 2 + a 2 (£ + yfÇ 2 — 2 a (a 2 — n 2 ) (£ + y) £ 3 + (a 2 — n 2 ) 2 £ 4 = 0 ; 
ce qui fait voir, sans la moindre peine, qu’il y a des points de rebroussement aux 
points (f = 0, f = 0), (y = 0, Ç= 0), savoir, aux points où l’infini, considéré comme droite, 
est rencontré par les droites x + yi = 0, x — yi = 0, qui sont les axes imaginaires du 
point x=0, y = 0.