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ON THE ATTRACTION OF ELLIPSOIDS (JACOBTS METHOD). 
[From the Cambridge and Dublin Mathematical Journal, vol. v. (1850), pp. 217—226.] 
In a letter published in 1846 in Liouville’s Journal (t. xi. p. 341) Jacobi says, 
“Il y a quatorze ans, je me suis posé le problème de chercher l’attraction d’un ellip 
soïde homogène exercée sur un point extérieur quelconque par une méthode analogue à 
celle employée par Maclaurin par rapport aux points situés dans les axes principaux. 
J’y suis parvenu par trois substitutions consécutives. La première est une transforma 
tion de coordonnées; par la seconde le radical V(1 — m 2 sin 2 /3 cos-yfr — n- sin 2 /3 sin 2 ÿ) qui 
entre dans la double intégrale transformée est rendu rationnel au moyen de la double 
substitution L 
m sin /3 cos yfr = sin g cos 6, sin /3 sin yjr = sin g sin 6 ; 
la troisième est encore une transformation de coordonnées. La recherche du sens 
géométrique de ces trois substitutions m’a conduit à approfondir la théorie des surfaces 
confocales par rapport auxquelles je découvris quantité de beaux théorèmes dont je 
communiquai quelques-uns des principaux à M. Steiner. Considérons l’ellipsoïde confocal 
mené par le point attiré P et le point p de l’ellipsoïde proposé, conjugué à P. 
Soient Q et q deux autres points conjugués quelconques situés respectivement sur 
l’ellipsoïde extérieur et intérieur. Menons de P un premier cône tangent à l’ellipsoïde 
intérieur, de p un second cône tangent à l’ellipsoïde extérieur. Ce dernier, tout imagi 
naire qu’il est, a ses trois axes réels (ainsi que ses deux droites focales). La première 
substitution ramène les axes de l’ellipsoïde à ceux du premier cône (c’est la substitution 
employée par Poisson, mais que j’avais antérieurement traitée et même étendue à un 
nombre quelconque de variables dans le mémoire De binis Functionibus homogeneis &c. 
[Crelle, t. xii. (1834) pp. 1—69]). Par la seconde substitution les angles que la droite 
Pq forme avec les axes du premier cône sont ramenés aux angles que la droite pQ 
forme avec les axes du second. Par la dernière substitution, on retourne de ces axes 
aux axes de l’ellipsoïde. La seconde substitution répond à un théorème de géométrie 
remarquable, savoir que ‘ Les cosinus des angles que la droite Pq forme avec deux des 
axes du premier cône sont en raison constante avec les cosinus des angles que la droite